Номер 0.15, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. Могут ли быть взаимно перпендикулярными биссектрисы двух углов треугольника?

Для ответа на этот вопрос используем метод доказательства от противного. Предположим, что такой треугольник существует, и биссектрисы двух его углов взаимно перпендикулярны.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Обозначим его углы как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ при вершинах $A$, $B$ и $C$ соответственно. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Проведем биссектрисы двух углов, например, из вершин $A$ и $B$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $I$. Точка $I$ является центром вписанной окружности.

Поскольку $AI$ и $BI$ являются биссектрисами, они делят углы $\alpha$ и $\beta$ пополам. Рассмотрим треугольник $\triangle AIB$. Его углы будут:

• $\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$
• $\angle IBA = \frac{\beta}{2}$
• $\angle AIB$ — угол между биссектрисами.

Сумма углов в треугольнике $\triangle AIB$ также равна $180^\circ$:
$\angle IAB + \angle IBA + \angle AIB = 180^\circ$

Подставим известные нам значения углов:
$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle AIB = 180^\circ$

По нашему предположению, биссектрисы взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle AIB = 90^\circ$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 90^\circ = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно суммы углов $\alpha$ и $\beta$:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - 90^\circ$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ$
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Мы получили, что сумма двух углов ($\alpha$ и $\beta$) нашего исходного треугольника $\triangle ABC$ должна быть равна $180^\circ$. Но сумма всех трех углов треугольника равна $180^\circ$:
$(\alpha + \beta) + \gamma = 180^\circ$

Подставив полученный результат, имеем:
$180^\circ + \gamma = 180^\circ$
Отсюда следует, что $\gamma = 0^\circ$.

Треугольник не может иметь угол, равный $0^\circ$, так как в этом случае он вырождается в отрезок. Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, биссектрисы двух углов треугольника не могут быть взаимно перпендикулярными.