Номер 0.22, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.22. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ к стороне $BC$ проведены прямые $AD$ и $AE$. Одна из них образует со стороной $AB$ угол, равный углу $\angle C$, а другая – со стороной $AC$ угол, равный углу $\angle B$. Докажите, что треугольник $ADE$ – равнобедренный (рис. 0.32).

Рис. 0.32

Для доказательства того, что треугольник $ADE$ является равнобедренным, мы докажем, что его стороны $AD$ и $AE$ равны. Воспользуемся теоремой синусов.

Рассмотрим треугольник $ABE$. По теореме синусов имеем соотношение:

$\frac{AE}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle AEB)}$

Отсюда выразим сторону $AE$:

$AE = AB \cdot \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle AEB)}$

Угол $\angle AEB$ смежный с углом $\angle AEC$, поэтому $\sin(\angle AEB) = \sin(\angle AEC)$. Найдем угол $\angle AEC$ из треугольника $ACE$. Сумма углов в треугольнике $ACE$ равна $180^\circ$:

$\angle AEC + \angle EAC + \angle ACE = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle EAC = \angle B$ и $\angle ACE = \angle C$. Подставив эти значения, получаем:

$\angle AEC = 180^\circ - \angle B - \angle C$

Из основного треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда следует, что $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.

Таким образом, $\angle AEC = 180^\circ - (180^\circ - \angle A) = \angle A$.

Следовательно, $\sin(\angle AEB) = \sin(\angle AEC) = \sin(\angle A)$. Подставим это в выражение для $AE$:

$AE = AB \cdot \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)}$

Используя стандартные обозначения сторон ($AB=c$), получаем:

$AE = \frac{c \sin B}{\sin A}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$

Этот путь менее удобен. Рассмотрим треугольник $ADC$:

$\frac{AD}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

Выразим сторону $AD$:

$AD = AC \cdot \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle ADC)}$

Угол $\angle ADC$ является внешним для треугольника $ABD$. Поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ADC = \angle B + \angle BAD$

По условию, $\angle BAD = \angle C$. Значит, $\angle ADC = \angle B + \angle C$.

Как мы уже установили, $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$. Следовательно, $\sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle A) = \sin(\angle A)$.

Подставим это в выражение для $AD$ (используя стандартное обозначение $AC=b$):

$AD = \frac{b \sin C}{\sin A}$

Теперь у нас есть выражения для длин сторон $AD$ и $AE$. Чтобы доказать, что $AD=AE$, нам нужно показать, что равны и правые части выражений:

$\frac{c \sin B}{\sin A} = \frac{b \sin C}{\sin A}$

Это равенство эквивалентно равенству $c \sin B = b \sin C$.

Вспомним теорему синусов для основного треугольника $ABC$:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Из этого соотношения, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), мы получаем $b \sin C = c \sin B$.

Равенство доказано, следовательно, $AD = AE$. Поскольку две стороны треугольника $ADE$ равны, он является равнобедренным.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $ADE$ является равнобедренным.