Номер 0.25, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.25. Постройте треугольник, зная его угол, биссектрису и высоту, выходящие из вершины этого угла.

Для решения задачи построения треугольника по углу, биссектрисе и высоте, выходящим из вершины этого угла, будем использовать метод анализа, который приведет нас к алгоритму построения.

Пусть даны угол величиной $\alpha$, отрезок длиной $l_a$ (биссектриса) и отрезок длиной $h_a$ (высота).

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle BAC = \alpha$, $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$, и $AL$ — биссектриса угла $\angle BAC$. По условию, $AH = h_a$ и $AL = l_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHL$. В этом треугольнике:

• Катет $AH$ равен заданной высоте $h_a$.
• Гипотенуза $AL$ равна заданной биссектрисе $l_a$.
• Вершина $A$ — это вершина заданного угла треугольника.
• Точки $H$ (основание высоты) и $L$ (основание биссектрисы) лежат на прямой, содержащей сторону $BC$.

Мы можем построить треугольник $AHL$ по катету и гипотенузе. Это построение возможно, если гипотенуза не меньше катета, то есть $l_a \ge h_a$.

После построения треугольника $AHL$ мы будем знать положение вершины $A$, а также прямой, на которой лежит сторона $BC$ (это прямая $HL$).

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, то она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL = \alpha/2$. Зная положение луча $AL$ и величину угла $\alpha/2$, мы можем построить лучи $AB$ и $AC$, отложив от луча $AL$ в разные стороны углы, равные $\alpha/2$.

Вершины $B$ и $C$ будут лежать на пересечении построенных лучей $AB$ и $AC$ с прямой $HL$. Таким образом, треугольник $ABC$ будет построен.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в несколько этапов:

1. Построение прямоугольного треугольника $AHL$.
   1. Проводим произвольную прямую $p$. Эта прямая будет содержать сторону $BC$ искомого треугольника.
   2. Выбираем на прямой $p$ произвольную точку $H$.
   3. Через точку $H$ проводим прямую $q$, перпендикулярную прямой $p$.
   4. На прямой $q$ откладываем отрезок $HA$ длиной $h_a$. Для этого строим окружность с центром в точке $H$ и радиусом $h_a$. Точка пересечения окружности с прямой $q$ будет вершиной $A$.
   5. Из точки $A$ как из центра проводим окружность радиусом $l_a$. Эта окружность пересечет прямую $p$ в точке (или двух точках). Обозначим одну из точек пересечения как $L$.
   6. Соединяем точки $A$ и $L$. Прямоугольный треугольник $AHL$ построен. Мы определили положение вершины $A$, прямой $p$ (содержащей $BC$) и прямой $AL$ (содержащей биссектрису).
2. Построение сторон $AB$ и $AC$.
   1. Сначала необходимо построить угол, равный $\alpha/2$. Для этого строим заданный угол $\alpha$ и проводим его биссектрису.
   2. Строим луч $AC$ так, чтобы он выходил из точки $A$, образовывал с лучом $AL$ угол, равный $\alpha/2$, и лежал по одну сторону от прямой $AL$.
   3. Аналогично строим луч $AB$ так, чтобы он выходил из точки $A$, образовывал с лучом $AL$ угол, равный $\alpha/2$, и лежал по другую сторону от прямой $AL$.
3. Определение вершин $B$ и $C$.
   1. Находим точку пересечения луча $AB$ с прямой $p$. Это будет вершина $B$.
   2. Находим точку пересечения луча $AC$ с прямой $p$. Это будет вершина $C$.

Соединив точки $A$, $B$, и $C$, мы получаем искомый треугольник $ABC$.

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, по построению есть отрезок $AH$, и его длина равна $h_a$.
• Угол $\angle BAC$ по построению равен сумме двух углов по $\alpha/2$, то есть $\angle BAC = \angle BAL + \angle CAL = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.
• Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $\angle BAC$ по построению, и его длина равна $l_a$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет решение не при любых исходных данных.

1. Построение прямоугольного треугольника $AHL$ возможно только в том случае, если его гипотенуза $AL$ не короче катета $AH$. Таким образом, необходимое условие: $l_a \ge h_a$. Если $l_a < h_a$, задача не имеет решений.
2. Если $l_a = h_a$, то точки $H$ и $L$ совпадают. Это означает, что высота и биссектриса, проведенные из вершины $A$, совпадают. В этом случае треугольник $ABC$ будет равнобедренным с основанием $BC$. Построение остается возможным.
3. Если $l_a > h_a$, окружность с центром $A$ и радиусом $l_a$ пересекает прямую $p$ в двух точках, симметричных относительно точки $H$. Выбор любой из них в качестве точки $L$ приводит к построению одного и того же треугольника (с точностью до конгруэнтности), так как вторая точка даст зеркально-симметричный треугольник. Таким образом, решение единственно.
4. Для существования невырожденного треугольника необходимо, чтобы построенные лучи $AB$ и $AC$ пересекали прямую $p$. Луч $AC$ всегда пересекает прямую $p$, так как угол $\angle HAC = |\alpha/2 - \angle HAL|$ всегда меньше $90^\circ$. Пересечение луча $AB$ с прямой $p$ существует, если луч $AB$ не параллелен прямой $p$. Это означает, что угол между $AB$ и перпендикуляром $AH$ не должен быть равен $90^\circ$. То есть, $\angle HAB = \angle HAL + \alpha/2 \neq 90^\circ$. Если $\angle HAL + \alpha/2 = 90^\circ$, то луч $AB$ будет параллелен прямой $p$ и треугольник построить невозможно.

Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при выполнении условий $l_a \ge h_a$ и $\arccos(h_a/l_a) + \alpha/2 \neq 90^\circ$.

Ответ: Треугольник строится на основе прямоугольного треугольника $AHL$, образованного высотой $h_a$ и биссектрисой $l_a$. Затем от луча биссектрисы $AL$ в разные стороны откладываются углы, равные половине заданного угла $\alpha$, до пересечения со прямой $HL$, что определяет две другие вершины треугольника. Построение возможно при $l_a \ge h_a$ и некоторых ограничениях на угол.