Номер 0.21, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21. Прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно его основанию, является биссектрисой внешнего угла треугольника при той же вершине. Докажите это.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть через вершину $B$ проведена прямая $m$, параллельная основанию $AC$.

Для доказательства построим внешний угол при вершине $B$. Продлим сторону $CB$ за точку $B$ до точки $D$. Таким образом, внешний угол треугольника при вершине $B$ — это угол $\angle ABD$. Прямая $m$ проходит через вершину $B$ и делит этот внешний угол на два угла. Обозначим на прямой $m$ точку $E$ так, чтобы она находилась по ту же сторону от прямой $CD$, что и точка $A$. Нам нужно доказать, что луч $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABD$, то есть что $\angle ABE = \angle EBD$.

Доказательство состоит из следующих шагов:

1. Так как прямая $m$ (которая содержит луч $BE$) параллельна прямой $AC$ ($m \parallel AC$), а прямая $AB$ является секущей, то накрест лежащие углы равны:
   $\angle ABE = \angle BAC$.
2. Рассмотрим те же параллельные прямые $m$ и $AC$, но в качестве секущей возьмем прямую $CD$. Углы $\angle EBD$ и $\angle BCA$ являются соответственными углами. Следовательно, они равны:
   $\angle EBD = \angle BCA$.
3. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. В треугольнике $ABC$ основанием является $AC$, поэтому:
   $\angle BAC = \angle BCA$.
4. Теперь сопоставим полученные равенства. Из шагов 1 и 2 мы имеем $\angle ABE = \angle BAC$ и $\angle EBD = \angle BCA$. Так как, согласно шагу 3, $\angle BAC = \angle BCA$, то мы можем сделать вывод, что:
   $\angle ABE = \angle EBD$.

Поскольку прямая $m$ (а именно, луч $BE$) делит внешний угол $\angle ABD$ на два равных угла ($\angle ABE$ и $\angle EBD$), она является его биссектрисой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.