Номер 0.19, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.19. Прямая $a$ проходит через середину отрезка $MN$. Докажите, что точки $M$ и $N$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$ (рис. 0.30).

Рис. 0.30

Дано:

Отрезок $MN$.
Прямая $a$ проходит через точку $O$, которая является серединой отрезка $MN$.
Следовательно, $MO = NO$.
$MP \perp a$ и $NK \perp a$ (по определению расстояния от точки до прямой).

Доказать:

Точки $M$ и $N$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$, то есть $MP = NK$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, образованных на рисунке: $\triangle MPO$ и $\triangle NKO$.

1. Эти треугольники являются прямоугольными, так как отрезки $MP$ и $NK$ — это перпендикуляры к прямой $a$. Таким образом, $\angle MPO = \angle NKO = 90^\circ$.

2. Стороны $MO$ и $NO$ являются гипотенузами в этих треугольниках. По условию задачи, точка $O$ — середина отрезка $MN$, поэтому гипотенузы равны: $MO = NO$.

3. Углы $\angle MOP$ и $\angle NOK$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямой $a$ и отрезка $MN$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle MPO$ и $\triangle NKO$ равны по гипотенузе и острому углу (признак равенства прямоугольных треугольников).

Поскольку треугольники равны, то их соответствующие элементы также равны. Катет $MP$ в $\triangle MPO$ соответствует катету $NK$ в $\triangle NKO$. Отсюда следует, что $MP = NK$.

Так как $MP$ и $NK$ — это расстояния от точек $M$ и $N$ до прямой $a$, то мы доказали, что эти расстояния равны.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $M$ и $N$ равноудалены от прямой $a$. Это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle MPO$ и $\triangle NKO$, которое доказывается по гипотенузе ($MO=NO$ по условию) и острому углу ($\angle MOP=\angle NOK$ как вертикальные). Равенство расстояний $MP$ и $NK$ следует из равенства треугольников как равенство их соответствующих катетов.