Вопросы, страница 14 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какая фигура называется многоугольником? Назовите его элементы.

2. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника?

3. Какая фигура называется выпуклым четырехугольником? Назовите и покажите его элементы.

4. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$.

1. Какая фигура называется многоугольником? Назовите его элементы.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная линия. Иными словами, это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются. Многоугольники называют по количеству их углов (или сторон), например: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д.

Основными элементами многоугольника являются:

• Вершины — это точки, в которых соединяются два звена ломаной (стороны).
• Стороны — это отрезки, образующие ломаную линию, которая ограничивает многоугольник.
• Углы (внутренние углы) — это углы, образованные двумя смежными сторонами в вершине многоугольника, внутри его области.
• Диагонали — это отрезки, соединяющие две любые несоседние вершины многоугольника.

Ответ: Многоугольник — это фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Его элементы: вершины, стороны, углы и диагонали.

2. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника зависит от количества его сторон (или углов). Если число сторон многоугольника равно $n$, то сумму его внутренних углов $S$ можно найти по формуле:

$S = (n-2) \times 180^\circ$

где $n$ — количество сторон (и вершин) многоугольника. Эта формула справедлива для любого выпуклого многоугольника с $n \ge 3$. Например, для треугольника ($n=3$) сумма углов равна $(3-2) \times 180^\circ = 180^\circ$. Для четырехугольника ($n=4$) сумма углов равна $(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2) \times 180^\circ$.

3. Какая фигура называется выпуклым четырехугольником? Назовите и покажите его элементы.

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Другими словами, все его внутренние углы меньше $180^\circ$, и любая из его диагоналей полностью лежит внутри четырехугольника.

Рассмотрим для примера выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его элементами являются:

• Вершины: четыре точки, являющиеся концами его сторон. В нашем случае это точки $A$, $B$, $C$, $D$.
• Стороны: четыре отрезка, соединяющие последовательные вершины. В нашем случае это стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.
• Углы: четыре внутренних угла при вершинах. В нашем случае это углы $\angle{A}$ (или $\angle{DAB}$), $\angle{B}$ (или $\angle{ABC}$), $\angle{C}$ (или $\angle{BCD}$), $\angle{D}$ (или $\angle{CDA}$).
• Диагонали: два отрезка, соединяющие противолежащие вершины. В нашем случае это диагонали $AC$ и $BD$.

Ответ: Выпуклый четырехугольник — это четырехугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой из его сторон. Его элементы — 4 вершины, 4 стороны, 4 угла и 2 диагонали.

4. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Дано: Выпуклый $n$-угольник.

Доказать: Сумма его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый многоугольник с $n$ сторонами. Пусть его внутренние углы равны $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$.

Внешний угол при любой вершине многоугольника является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Обозначим внешние углы, взятые по одному при каждой вершине, как $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$.

По определению смежных углов, сумма внутреннего и соответствующего ему внешнего угла равна $180^\circ$. То есть для каждой $i$-ой вершины ($i$ от 1 до $n$) справедливо равенство:

$\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$

Чтобы найти сумму всех внешних углов, просуммируем эти равенства для всех $n$ вершин:

$\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ$

$(\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) + \dots + (\alpha_n + \beta_n) = n \cdot 180^\circ$

Сгруппируем слагаемые:

$(\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n) + (\beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_n) = n \cdot 180^\circ$

Первая скобка представляет собой сумму внутренних углов выпуклого $n$-угольника, которая, как известно, равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Обозначим сумму внешних углов как $S_{внешн} = \beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_n$.

Подставим известное значение суммы внутренних углов в наше уравнение:

$(n-2) \cdot 180^\circ + S_{внешн} = n \cdot 180^\circ$

Выразим отсюда $S_{внешн}$:

$S_{внешн} = n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$

Вынесем $180^\circ$ за скобки:

$S_{внешн} = (n - (n-2)) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от числа его сторон и всегда равна $360^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.