Номер 0.24, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.24. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ и $B$ — концы хорды, длина которой по условию задачи равна радиусу, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $ΔOAB$. Его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$. Таким образом, мы имеем $OA = OB = AB = R$. Это означает, что треугольник $ΔOAB$ является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60°$. Следовательно, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $∠AOB = 60°$.

Теперь проведем касательные к окружности в точках $A$ и $B$. Пусть эти касательные пересекаются в точке $C$. Угол между этими касательными — это угол $∠ACB$.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AC$, а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $BC$. Отсюда следует, что углы $∠OAC$ и $∠OBC$ являются прямыми:
$∠OAC = 90°$
$∠OBC = 90°$

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360°$. В нашем случае:
$∠AOB + ∠OAC + ∠OBC + ∠ACB = 360°$

Подставим известные значения углов в это равенство:
$60° + 90° + 90° + ∠ACB = 360°$
$240° + ∠ACB = 360°$

Отсюда находим угол $∠ACB$:
$∠ACB = 360° - 240° = 120°$

При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов, которые в сумме дают $180°$. Один из углов пересечения наших касательных равен $120°$. Второй, смежный с ним, равен:
$180° - 120° = 60°$

Таким образом, прямые пересекаются под углами $120°$ и $60°$.

Ответ: $60°$ и $120°$.