Номер 0.12, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.12. На рис. 0.28 $\angle BAC = 90^\circ$, $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что прямые $MN$ и $PQ$ параллельны.

Рис. 0.28

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ANP$. Поскольку по условию $\angle BAC = 90^\circ$, то и смежный с ним угол, который является углом треугольника $ANP$, а именно $\angle NAP$, также равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ANP$ — прямоугольный.

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. В треугольнике $ANP$ острыми углами являются $\angle ANP$ и $\angle APN$. Из рисунка видно, что $\angle ANP$ совпадает с $\angle 2$, а $\angle APN$ совпадает с $\angle 3$. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle 2 + \angle 3 = 90^\circ$.

3. Теперь рассмотрим прямые $MN$ и $PQ$, которые пересекает третья прямая (секущая) $NP$. Углы $\angle MNP$ и $\angle QPN$ являются внутренними односторонними углами.

4. Выразим эти углы через данные в условии. Из рисунка следует:
$\angle MNP = \angle 1 + \angle 2$
$\angle QPN = \angle 3 + \angle 4$

5. По условию задачи $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$. Используем эти равенства:
$\angle MNP = \angle 2 + \angle 2 = 2 \cdot \angle 2$
$\angle QPN = \angle 3 + \angle 3 = 2 \cdot \angle 3$

6. Найдем сумму внутренних односторонних углов:
$\angle MNP + \angle QPN = (2 \cdot \angle 2) + (2 \cdot \angle 3) = 2(\angle 2 + \angle 3)$.

7. Из пункта 2 мы установили, что $\angle 2 + \angle 3 = 90^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение:
$\angle MNP + \angle QPN = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.

8. Согласно одному из признаков параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна $180^\circ$, то эти прямые параллельны.
Поскольку сумма углов $\angle MNP$ и $\angle QPN$ равна $180^\circ$, то прямые $MN$ и $PQ$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $MN$ и $PQ$ доказана.