Номер 0.14, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.14. Если $ \alpha $ и $ \beta $ – два угла треугольника, то под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов?

Пусть дан треугольник с углами $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Сумма углов любого треугольника составляет $ 180^\circ $, следовательно:
$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Проведем биссектрисы углов $ \alpha $ и $ \beta $. Точку их пересечения обозначим как O. Эти биссектрисы образуют новый треугольник с вершинами в точке O и двух вершинах исходного треугольника.

По определению, биссектриса делит угол пополам. Поэтому углы у основания этого нового треугольника будут равны $ \frac{\alpha}{2} $ и $ \frac{\beta}{2} $.

Обозначим угол при вершине O этого нового треугольника (то есть один из углов пересечения биссектрис) как $ \phi $. Сумма углов в этом новом треугольнике также равна $ 180^\circ $. Мы можем составить уравнение:
$ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \phi = 180^\circ $

Теперь выразим $ \phi $ из этого уравнения, чтобы найти угол пересечения:
$ \phi = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) $
$ \phi = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $

Это один из углов, образованных при пересечении биссектрис. Поскольку в треугольнике сумма двух углов $ \alpha + \beta $ всегда меньше $ 180^\circ $, то $ \frac{\alpha + \beta}{2} < 90^\circ $. Следовательно, угол $ \phi = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $ всегда будет больше $ 90^\circ $ (тупой угол).

Пересекающиеся прямые образуют две пары смежных углов, сумма которых равна $ 180^\circ $. Второй угол пересечения (острый) будет равен:
$ 180^\circ - \phi = 180^\circ - \left(180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{\alpha + \beta}{2} $

Таким образом, биссектрисы пересекаются под двумя углами, один из которых тупой, а другой острый.

Ответ: Биссектрисы пересекаются под углами $ 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $ и $ \frac{\alpha + \beta}{2} $.