Номер 0.13, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Докажите, что для любого треугольника ABC выполняются следующие утверждения:

Рис. 0.28

1) биссектриса угла А с высотой, проведенной из этой вершины, образует угол, равный $\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$;

2) биссектриса внешнего угла В и биссектриса угла С образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A)$;

3) биссектрисы углов В и С образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A) + 90^{\circ}$.

1) биссектриса угла A с высотой, проведенной из этой вершины, образует угол, равный $\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$;

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH$ (где $H$ лежит на прямой $BC$) и биссектриса $AL$. Нам нужно доказать, что угол между ними, $\angle HAL$, равен $\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$.

Для определенности, предположим, что $\angle B > \angle C$. Это означает, что основание высоты $H$ лежит между $B$ и $L$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, следовательно, $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle BAL = \frac{1}{2}\angle A$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C$.
Следовательно, $\angle BAL = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B - \angle C) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C$.

Искомый угол $\angle HAL$ можно найти как разность углов $\angle BAL$ и $\angle BAH$:
$\angle HAL = \angle BAL - \angle BAH$
$\angle HAL = (90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C) - (90^\circ - \angle B)$
$\angle HAL = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C - 90^\circ + \angle B$
$\angle HAL = \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$

Если бы мы предположили, что $\angle C > \angle B$, то аналогичные рассуждения привели бы к результату $\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$. Таким образом, в общем случае угол между высотой и биссектрисой равен половине модуля разности двух других углов треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

2) биссектриса внешнего угла B и биссектриса угла C образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A)$;

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $CD$ внутреннего угла $C$ и биссектриса $BD$ внешнего угла при вершине $B$. Пусть $D$ — точка их пересечения. Нам нужно найти величину угла $\angle BDC$.

Внешний угол при вершине $B$ (смежный с внутренним углом $\angle B$) равен $180^\circ - \angle B$. Пусть этот внешний угол образован продолжением стороны $CB$ за точку $B$. Биссектриса $BD$ делит его пополам.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle BDC + \angle DBC + \angle DCB = 180^\circ$.

Найдем углы этого треугольника:
- $CD$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle DCB = \frac{1}{2}\angle C$.
- Угол $\angle DBC$ в треугольнике $BDC$ является суммой внутреннего угла $\angle ABC$ и угла $\angle ABD$, где $BD$ - биссектриса внешнего угла. Угол $\angle ABD = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B$. Таким образом, $\angle DBC = \angle ABC + \angle ABD = \angle B + (90^\circ - \frac{1}{2}\angle B) = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle B$.

Подставим найденные значения в уравнение для суммы углов треугольника $BDC$:
$\angle BDC + (90^\circ + \frac{1}{2}\angle B) + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$

Выразим $\angle BDC$:
$\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

Из суммы углов треугольника $ABC$ известно, что $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$. Подставим это выражение:
$\angle BDC = 90^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle A$

Ответ: Утверждение доказано.

3) биссектрисы углов B и C образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A) + 90^\circ$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BI$ и $CI$ внутренних углов $B$ и $C$. Точка их пересечения $I$ является центром вписанной окружности (инцентром). Нам нужно найти величину угла $\angle BIC$.

Рассмотрим треугольник $BIC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:
$\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^\circ$

Найдем углы этого треугольника:
- Так как $BI$ — биссектриса угла $B$, то $\angle IBC = \frac{1}{2}\angle B$.
- Так как $CI$ — биссектриса угла $C$, то $\angle ICB = \frac{1}{2}\angle C$.

Подставим эти значения в уравнение суммы углов:
$\angle BIC + \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$

Выразим искомый угол $\angle BIC$:
$\angle BIC = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

Из суммы углов треугольника $ABC$ ($\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$) выразим сумму углов $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.

Подставим это выражение в формулу для $\angle BIC$:
$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$

Ответ: Утверждение доказано.