Номер 0.11, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.11. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть две прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В результате пересечения образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOB$ и $\angle COD$, а также $\angle BOC$ и $\angle AOD$.

Рассмотрим пару вертикальных углов $\angle AOB$ и $\angle COD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOB = \angle COD$.

Проведем луч $OM$ как биссектрису угла $\angle AOB$ и луч $ON$ как биссектрису угла $\angle COD$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части:

$\angle MOB = \frac{1}{2}\angle AOB$

$\angle CON = \frac{1}{2}\angle COD$

Чтобы доказать, что биссектрисы $OM$ и $ON$ лежат на одной прямой, необходимо показать, что угол $\angle MON$ является развернутым, то есть его величина составляет $180^\circ$.

Угол $\angle MON$ можно представить как сумму трех смежных углов: $\angle MOB$, $\angle BOC$ и $\angle CON$.

$\angle MON = \angle MOB + \angle BOC + \angle CON$

Подставим в это выражение формулы для половин углов, полученные из определения биссектрисы:

$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOB + \angle BOC + \frac{1}{2}\angle COD$

Так как $\angle AOB = \angle COD$, мы можем заменить $\angle COD$ на $\angle AOB$:

$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOB + \angle BOC + \frac{1}{2}\angle AOB$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$\angle MON = (\frac{1}{2}\angle AOB + \frac{1}{2}\angle AOB) + \angle BOC = \angle AOB + \angle BOC$

Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ являются смежными, так как у них общая сторона $OB$, а две другие стороны $OA$ и $OC$ образуют прямую $AC$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Следовательно, мы приходим к выводу, что $\angle MON = 180^\circ$.

Поскольку угол $\angle MON$ равен $180^\circ$, он является развернутым. Это означает, что лучи $OM$ и $ON$ являются продолжением друг друга, то есть лежат на одной прямой. Доказательство для биссектрис второй пары вертикальных углов ($\angle BOC$ и $\angle AOD$) проводится аналогично.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол ($180^\circ$), так как сумма половины одного из вертикальных углов, смежного с ним угла и половины второго вертикального угла равна сумме двух смежных углов, которая составляет $180^\circ$. Следовательно, биссектрисы лежат на одной прямой.