Страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.7. Может ли сумма углов многоугольника равняться сумме нечетного числа прямых углов? Обоснуйте ответ.

Сумма внутренних углов любого простого (в том числе выпуклого) n-угольника вычисляется по формуле $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество сторон многоугольника, и $n \geq 3$.

Прямой угол равен $90^\circ$. Сумма $k$ прямых углов равна $k \cdot 90^\circ$.

По условию задачи, требуется определить, может ли сумма углов многоугольника равняться сумме нечетного числа прямых углов. Допустим, что это возможно. Тогда должно выполняться равенство:

$(n - 2) \cdot 180^\circ = k \cdot 90^\circ$

где $n$ — целое число ($n \geq 3$), а $k$ — нечетное целое положительное число.

Для анализа этого равенства разделим обе его части на $90^\circ$:

$(n - 2) \cdot \frac{180^\circ}{90^\circ} = k$

$(n - 2) \cdot 2 = k$

Рассмотрим левую часть полученного уравнения: $2(n - 2)$. Поскольку $n$ является целым числом, разность $(n - 2)$ также является целым числом. Произведение любого целого числа на 2 всегда дает в результате четное число. Следовательно, левая часть уравнения, $2(n - 2)$, всегда является четным числом для любого многоугольника.

Таким образом, мы приходим к выводу, что число $k$ должно быть четным. Однако, по нашему первоначальному предположению, $k$ — это нечетное число. Возникает противоречие, так как одно и то же число не может быть одновременно и четным, и нечетным.

Это противоречие означает, что наше исходное допущение было неверным.

Ответ: Нет, не может. Сумма углов многоугольника с $n$ сторонами равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Если выразить эту сумму в количестве прямых углов ($90^\circ$), она будет равна $2(n-2)$ прямым углам. Так как $n$ — целое число ($n \geq 3$), то $(n-2)$ — целое число, а $2(n-2)$ — всегда четное число. Следовательно, сумма углов многоугольника всегда равна четному числу прямых углов и не может равняться нечетному.

1.8. Сколько диагоналей можно провести через вершину выпуклого n-угольника? Решите задачу при:

1) $n = 4$;

2) $n = 5$;

3) $n = 6$;

4) $n = 10$.

Чтобы найти количество диагоналей, которое можно провести через одну вершину выпуклого n-угольника, необходимо рассмотреть, с какими другими вершинами можно соединить данную вершину, чтобы получился отрезок, являющийся диагональю.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.

У выпуклого n-угольника всего $n$ вершин. Возьмем одну из них. Из этой вершины нельзя провести диагональ:

• к самой себе (1 вершина);
• к двум соседним вершинам, так как отрезки, соединяющие их, являются сторонами многоугольника (2 вершины).

Количество диагоналей, выходящих из одной вершины, равно $n - 3$.

Теперь решим задачу для каждого конкретного случая, используя эту формулу.

1) n = 4;

Для выпуклого четырехугольника (где $n=4$) количество диагоналей, которое можно провести через одну его вершину, равно:
$4 - 3 = 1$.
Ответ: 1.

2) n = 5;

Для выпуклого пятиугольника (где $n=5$) количество диагоналей, которое можно провести через одну его вершину, равно:
$5 - 3 = 2$.
Ответ: 2.

3) n = 6;

Для выпуклого шестиугольника (где $n=6$) количество диагоналей, которое можно провести через одну его вершину, равно:
$6 - 3 = 3$.
Ответ: 3.

4) n = 10;

Для выпуклого десятиугольника (где $n=10$) количество диагоналей, которое можно провести через одну его вершину, равно:
$10 - 3 = 7$.
Ответ: 7.

1.9. Может ли один из углов выпуклого четырехугольника быть больше, чем сумма трех остальных его углов? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством суммы углов четырехугольника и определением выпуклого четырехугольника.

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Пусть углы выпуклого четырехугольника равны $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ и $\alpha_4$. Тогда справедливо следующее равенство: $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ$.

Предположим, что один из углов (для определенности, $\alpha_1$) больше суммы трех остальных его углов. Математически это можно записать в виде неравенства: $\alpha_1 > \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$.

Из равенства суммы углов мы можем выразить сумму трех углов $(\alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4)$: $\alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ - \alpha_1$.

Теперь подставим это выражение в наше неравенство: $\alpha_1 > 360^\circ - \alpha_1$.

Решим полученное неравенство относительно $\alpha_1$:
$\alpha_1 + \alpha_1 > 360^\circ$
$2\alpha_1 > 360^\circ$
$\alpha_1 > 180^\circ$.

Таким образом, из нашего предположения следует, что угол $\alpha_1$ должен быть больше $180^\circ$.

Однако, по определению, четырехугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. Полученное нами условие $\alpha_1 > 180^\circ$ напрямую противоречит определению выпуклого четырехугольника.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что один из углов может быть больше суммы трех остальных, было неверным.

Ответ: нет, не может. В выпуклом четырехугольнике каждый угол меньше $180^\circ$. Если бы один из углов был больше суммы трех других, то, как было показано, его величина должна была бы превышать $180^\circ$, что противоречит определению выпуклого четырехугольника.

1.10. Может ли в выпуклом четырехугольнике:

1) меньший угол быть больше, чем $90^\circ$;

2) больший угол быть меньше, чем $90^\circ$?

Обоснуйте ответ.

1) меньший угол быть больше, чем 90°

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Предположим, что наименьший угол четырехугольника больше $90°$. Так как все остальные углы по определению не могут быть меньше наименьшего, то получается, что каждый из четырех углов четырехугольника больше $90°$. В таком случае сумма всех четырех углов будет строго больше, чем $4 \times 90° = 360°$. Это противоречит свойству суммы углов выпуклого четырехугольника. Следовательно, такое невозможно.

Ответ: нет, не может.

2) больший угол быть меньше, чем 90°

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360°$. Предположим, что наибольший угол четырехугольника меньше $90°$. Так как все остальные углы по определению не могут быть больше наибольшего, то получается, что каждый из четырех углов четырехугольника меньше $90°$. В таком случае сумма всех четырех углов будет строго меньше, чем $4 \times 90° = 360°$. Это также противоречит свойству суммы углов выпуклого четырехугольника. Следовательно, такое невозможно.

Ответ: нет, не может.

1.11. Докажите, что не существует многоугольника, у которого:

1) число внешних прямых углов больше четырех;

2) число внешних тупых углов больше трех.

Для решения этой задачи будем исходить из того, что речь идет о выпуклом многоугольнике. Ключевым свойством, которое мы будем использовать, является теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. Также важно, что все внешние углы выпуклого многоугольника положительны.

1) число внешних прямых углов больше четырех

Докажем от противного. Предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого число внешних прямых углов больше четырех. Пусть у этого многоугольника есть $k$ внешних прямых углов, где $k > 4$. Поскольку $k$ — целое число, то $k \ge 5$.

Прямой угол равен $90^\circ$. Сумма этих $k$ внешних прямых углов будет равна $k \times 90^\circ$.

Так как мы предположили, что $k \ge 5$, то сумма только этих углов будет не меньше, чем $5 \times 90^\circ = 450^\circ$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Мы получили, что сумма только части внешних углов ($k$ прямых углов) уже составляет не менее $450^\circ$. Это противоречит теореме о сумме внешних углов, так как сумма части положительных углов не может быть больше их общей суммы.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Не существует выпуклого многоугольника, у которого число внешних прямых углов больше четырех, так как их сумма превысила бы $360^\circ$.

2) число внешних тупых углов больше трех

Докажем также от противного. Предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого число внешних тупых углов больше трех. Пусть у этого многоугольника есть $m$ внешних тупых углов, где $m > 3$. Поскольку $m$ — целое число, то $m \ge 4$.

Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$. Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ — это внешние тупые углы. Для каждого из них выполняется неравенство $\alpha_i > 90^\circ$.

Найдем сумму этих $m$ углов: $\sum_{i=1}^{m} \alpha_i$.

Так как мы предположили, что $m \ge 4$ и каждый из этих углов больше $90^\circ$, то их сумма будет строго больше, чем $4 \times 90^\circ = 360^\circ$.

То есть, $\sum_{i=1}^{m} \alpha_i > 360^\circ$.

Это противоречит теореме о том, что сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна ровно $360^\circ$. Сумма части внешних углов оказалась больше общей суммы, что невозможно, так как все внешние углы положительны.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Не существует выпуклого многоугольника, у которого число внешних тупых углов больше трех, так как их сумма превысила бы $360^\circ$.

лов больше трех.

1.12. Как изменится сумма углов многоугольника, если из четырехугольника $ABCD$ «вырезать»:

а) треугольник $FAE$ (рис. 1.14);

б) четырехугольник $ABKE$ (рис. 1.15)?

а) Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество углов (или сторон) многоугольника. Изначально у нас есть четырехугольник ABCD. Для него $n=4$, и сумма его углов равна $S_4 = 180^\circ \cdot (4-2) = 360^\circ$. Когда из него «вырезают» треугольник FAE, как показано на рис. 1.14, мы по сути убираем одну вершину (A), но добавляем две новые (F и E). Получившийся многоугольник — это BCDEF. У него 5 вершин (B, C, D, E, F), следовательно, это пятиугольник. Для нового многоугольника (пятиугольника) $n=5$, и сумма его углов будет равна $S_5 = 180^\circ \cdot (5-2) = 180^\circ \cdot 3 = 540^\circ$. Чтобы найти, как изменилась сумма углов, вычтем из новой суммы старую: $\Delta S = S_5 - S_4 = 540^\circ - 360^\circ = 180^\circ$.
Ответ: Сумма углов увеличится на $180^\circ$.

б) Исходный многоугольник — четырехугольник ABCD, сумма его углов, как мы уже знаем, составляет $360^\circ$. Когда из него «вырезают» четырехугольник ABKE, как показано на рис. 1.15, получается новый многоугольник EKCD. Подсчитаем количество вершин у нового многоугольника: E, K, C, D. Всего 4 вершины. Следовательно, новый многоугольник также является четырехугольником. Сумма углов любого четырехугольника, включая EKCD, равна $S_4 = 180^\circ \cdot (4-2) = 360^\circ$. Сумма углов не изменилась, так как и исходная, и конечная фигуры являются четырехугольниками. Изменение равно $360^\circ - 360^\circ = 0^\circ$.
Ответ: Не изменится.

1.13.

1) Сколько углов имеет многоугольник, у которого сумма всех внутренних углов равна сумме всех внешних его углов?

2) Сколько вершин имеет многоугольник, если все его внешние углы тупые?

1) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S_{внутр} = 180^\circ \cdot (n - 2)$, где $n$ — количество углов (и сторон) многоугольника.
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда постоянна и равна $360^\circ$.
По условию задачи, сумма внутренних углов равна сумме внешних углов:
$S_{внутр} = S_{внешн}$
$180^\circ \cdot (n - 2) = 360^\circ$
Чтобы найти количество углов $n$, решим это уравнение. Разделим обе части на $180^\circ$:
$n - 2 = \frac{360^\circ}{180^\circ}$
$n - 2 = 2$
$n = 4$
Следовательно, многоугольник имеет 4 угла. Это четырехугольник.
Ответ: 4.

2) Количество вершин в многоугольнике равно количеству его углов и сторон. Обозначим это число как $n$.
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$.
Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
По условию, все $n$ внешних углов многоугольника являются тупыми. Это означает, что каждый из них больше $90^\circ$.
Если мы сложим все $n$ внешних углов, их сумма будет строго больше, чем если бы мы сложили $n$ углов по $90^\circ$:
Сумма внешних углов > $n \cdot 90^\circ$
Подставляем известное значение суммы внешних углов:
$360^\circ > n \cdot 90^\circ$
Разделим обе части неравенства на $90^\circ$:
$\frac{360^\circ}{90^\circ} > n$
$4 > n$
Поскольку любой многоугольник должен иметь как минимум 3 вершины ($n \ge 3$), то единственное целое число, удовлетворяющее условиям $n < 4$ и $n \ge 3$, это $n = 3$.
Такой многоугольник существует. Например, у равностороннего треугольника все внутренние углы равны $60^\circ$, а все внешние углы равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Угол $120^\circ$ является тупым.
Ответ: 3.

1.14. Может ли выпуклый четырехугольник иметь:

1) три тупых угла;

2) два тупых и два прямых угла? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого четырехугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$.

Также вспомним определения типов углов:

• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна ровно $90^\circ$.
• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

1) три тупых угла

Предположим, что выпуклый четырехугольник имеет три тупых угла. Обозначим их как $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. По определению тупого угла, каждый из них больше $90^\circ$:

$\alpha_1 > 90^\circ$

$\alpha_2 > 90^\circ$

$\alpha_3 > 90^\circ$

Следовательно, сумма этих трех углов будет строго больше, чем $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$.

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 > 270^\circ$

Пусть четвертый угол равен $\alpha_4$. Так как сумма всех четырех углов равна $360^\circ$, то:

$\alpha_4 = 360^\circ - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$

Поскольку сумма первых трех углов больше $270^\circ$, для четвертого угла получаем:

$\alpha_4 < 360^\circ - 270^\circ$

$\alpha_4 < 90^\circ$

Это означает, что четвертый угол должен быть острым. Такое возможно. Например, можно взять три угла по $110^\circ$. Их сумма составит $3 \times 110^\circ = 330^\circ$. Тогда на долю четвертого угла останется $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$. Все углы ($110^\circ, 110^\circ, 110^\circ, 30^\circ$) меньше $180^\circ$, поэтому такой выпуклый четырехугольник существует.

Ответ: да, может.

2) два тупых и два прямых угла

Предположим, что выпуклый четырехугольник имеет два прямых угла и два тупых угла.

Сумма двух прямых углов составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Два других угла являются тупыми. Обозначим их $\beta_1$ и $\beta_2$. По определению, каждый из них больше $90^\circ$:

$\beta_1 > 90^\circ$

$\beta_2 > 90^\circ$

Следовательно, их сумма будет строго больше $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$:

$\beta_1 + \beta_2 > 180^\circ$

Теперь найдем общую сумму всех четырех углов такого четырехугольника:

Сумма = (сумма прямых углов) + (сумма тупых углов) = $180^\circ + (\beta_1 + \beta_2)$.

Так как $\beta_1 + \beta_2 > 180^\circ$, то общая сумма углов будет больше чем $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Получается, что сумма углов такого четырехугольника строго больше $360^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов выпуклого четырехугольника, которая должна быть в точности равна $360^\circ$. Следовательно, такое сочетание углов в выпуклом четырехугольнике невозможно.

Ответ: нет, не может.

1.15. Как найти точку $O$, которая находится на одинаковом расстоянии от вершин $M$ и $N$ выпуклого четырехугольника $MNKP$ и на одинаковом расстоянии от вершин $K$ и $P$? Можно ли найти несколько таких точек?

Как найти точку О, которая находится на одинаковом расстоянии от вершин М и N выпуклого четырехугольника MNKP и на одинаковом расстоянии от вершин K и P?

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек (например, $M$ и $N$), представляет собой прямую, называемую серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($MN$).

Исходя из этого:

1. Условие, что точка $O$ равноудалена от вершин $M$ и $N$ (то есть, $OM = ON$), означает, что точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре $p_1$ к отрезку $MN$.
2. Аналогично, условие, что точка $O$ равноудалена от вершин $K$ и $P$ (то есть, $OK = OP$), означает, что точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре $p_2$ к отрезку $KP$.

Чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно, искомая точка $O$ должна принадлежать обеим прямым, $p_1$ и $p_2$. Следовательно, точка $O$ является точкой пересечения этих двух серединных перпендикуляров.

Алгоритм нахождения точки $O$:

1. Соединить точки $M$ и $N$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр $p_1$ к отрезку $MN$.
3. Соединить точки $K$ и $P$ отрезком.
4. Построить серединный перпендикуляр $p_2$ к отрезку $KP$.
5. Точка пересечения прямых $p_1$ и $p_2$ и есть искомая точка $O$.

Ответ: Искомая точка $O$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MN$ и серединного перпендикуляра к отрезку $KP$.

Можно ли найти несколько таких точек?

Количество искомых точек $O$ равно количеству точек пересечения двух прямых $p_1$ и $p_2$ на плоскости. Возможны три случая:

• Одна точка. Это наиболее общий случай, который возникает, когда прямые $p_1$ и $p_2$ не параллельны и пересекаются в одной-единственной точке. Это происходит, когда отрезки $MN$ и $KP$ не параллельны друг другу.
• Ни одной точки. Если прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны, но не совпадают, они не имеют точек пересечения. В этом случае точки $O$, удовлетворяющей условиям, не существует. Такое возможно, если отрезки $MN$ и $KP$ параллельны (например, являются основаниями трапеции $MNKP$), но четырехугольник не является равнобедренной трапецией.
• Бесконечно много точек. Если прямые $p_1$ и $p_2$ совпадают, то любая точка этой общей прямой будет решением. Это происходит в частном случае, когда четырехугольник $MNKP$ является равнобедренной трапецией, у которой $MN$ и $KP$ — параллельные основания. Тогда серединные перпендикуляры к основаниям совпадают, образуя ось симметрии трапеции.

Ответ: Да, возможно. Может существовать одна такая точка (общий случай), ни одной точки (если $MN \parallel KP$, но трапеция не равнобедренная), или бесконечно много точек (если $MNKP$ — равнобедренная трапеция с основаниями $MN$ и $KP$).

1.16. Сколько острых углов может иметь выпуклый $n$-угольник? Обоснуйте ответ.

Для определения возможного количества острых углов в выпуклом n-угольнике воспользуемся свойством его внешних углов. Пусть внутренние углы выпуклого n-угольника равны $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$, где $\beta_i = 180^\circ - \alpha_i$. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$:

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i = 360^\circ$

Острый внутренний угол — это угол $\alpha_i < 90^\circ$. Если внутренний угол $\alpha_i$ является острым, то соответствующий ему внешний угол $\beta_i = 180^\circ - \alpha_i$ будет больше $90^\circ$ (тупым), так как $\beta_i > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Предположим, что выпуклый n-угольник имеет $k$ острых углов. Это означает, что у него есть $k$ внешних углов, каждый из которых больше $90^\circ$. Сумма этих $k$ внешних углов будет строго больше, чем $k \cdot 90^\circ$.

Поскольку все внешние углы выпуклого многоугольника положительны (так как все внутренние углы меньше $180^\circ$), общая сумма всех $n$ внешних углов будет больше, чем сумма только этих $k$ углов:

$360^\circ = \sum_{i=1}^{n} \beta_i > k \cdot 90^\circ$

Из этого неравенства следует:

$k < \frac{360^\circ}{90^\circ} \implies k < 4$

Так как $k$ (количество острых углов) — это целое неотрицательное число, то его максимальное возможное значение равно 3. Таким образом, выпуклый n-угольник может иметь 0, 1, 2 или 3 острых угла.

Теперь покажем, что каждое из этих значений возможно, приведя соответствующие примеры.

Такой многоугольник существует. Например, прямоугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$), то есть не острые. Другой пример — правильный пятиугольник, у которого каждый внутренний угол равен $108^\circ$. В общем, любой правильный n-угольник при $n \ge 4$ не имеет острых углов. Стоит отметить, что для треугольника ($n=3$) этот случай невозможен, так как у любого треугольника есть как минимум два острых угла.

Такой многоугольник существует. Например, можно построить четырехугольник. Возьмем один внешний угол равным $120^\circ$ (ему соответствует внутренний угол $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, который является острым). Оставшиеся $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ суммы внешних углов разделим на три других внешних угла, например, по $80^\circ$ каждый. Этим внешним углам соответствуют внутренние углы по $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ (тупые). Сумма внутренних углов полученного четырехугольника будет $60^\circ + 3 \cdot 100^\circ = 360^\circ$, что соответствует сумме углов выпуклого четырехугольника. Следовательно, такой многоугольник существует.

Такой многоугольник существует. Самый простой пример — любой прямоугольный треугольник (углы $90^\circ, \alpha, 90^\circ - \alpha$, где $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ — острые) или тупоугольный треугольник (один тупой угол и два острых).

Такой многоугольник существует. Любой остроугольный треугольник, например, равносторонний с углами по $60^\circ$, имеет три острых угла. Также можно построить и n-угольник с $n>3$, имеющий 3 острых угла. Например, четырехугольник с внутренними углами $89^\circ, 89^\circ, 89^\circ, 93^\circ$ (сумма $360^\circ$).

Таким образом, мы доказали, что количество острых углов в выпуклом n-угольнике не может превышать трёх, и показали, что все варианты от 0 до 3 возможны.

Ответ: Выпуклый n-угольник может иметь 0, 1, 2 или 3 острых угла.

1.17. Сколько диагоналей имеет выпуклый $n$-угольник?

Чтобы определить количество диагоналей в выпуклом n-угольнике, можно рассуждать несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Комбинаторный

Выпуклый n-угольник имеет $n$ вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две любые не соседние вершины.

Для начала найдем общее количество отрезков, которые можно провести между всеми парами вершин. Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов (вершин) по 2, поскольку для построения отрезка нам нужно выбрать две вершины, и порядок их выбора не имеет значения.

Число сочетаний из $n$ по 2 находится по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Это число включает в себя как диагонали, так и стороны многоугольника. У n-угольника есть ровно $n$ сторон. Чтобы найти количество диагоналей, нужно из общего числа отрезков вычесть количество сторон.

Пусть $D$ — количество диагоналей. Тогда: $D = C_n^2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n$

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим: $D = \frac{n(n-1) - 2n}{2} = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$

Способ 2: Подсчет из каждой вершины

Возьмем одну произвольную вершину многоугольника. Из нее можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме трех:

• самой этой вершины;
• двух соседних с ней вершин (отрезки к ним являются сторонами, а не диагоналями).

Таким образом, из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали.

Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то, умножив количество вершин на число диагоналей, выходящих из каждой, мы получим $n(n-3)$.

Однако при таком подсчете каждая диагональ (например, соединяющая вершину A и вершину B) будет посчитана дважды: один раз как выходящая из вершины A, и второй раз — как выходящая из вершины B. Поэтому полученный результат нужно разделить на 2.

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Оба способа приводят к одной и той же формуле. Формула верна для $n \ge 3$. Например, для треугольника ($n=3$) число диагоналей равно $\frac{3(3-3)}{2} = 0$, а для четырехугольника ($n=4$) — $\frac{4(4-3)}{2} = 2$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$

1.18. Диагональ $AC$ делит углы $A$ и $C$ четырехугольника $ABCD$ пополам. Какой вывод можно сделать о сторонах этого четырехугольника?

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Проанализируем эти два треугольника, чтобы сделать вывод о сторонах четырехугольника.

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

2. По условию задачи, диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам. Это означает, что угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$.

3. Также по условию, диагональ $AC$ делит угол $C$ пополам. Это означает, что угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DCA$.

Исходя из этих трех фактов, мы можем утверждать, что $\triangle ABC = \triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны.

- Сторона $AB$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BCA$. Сторона $AD$ в $\triangle ADC$ лежит напротив равного ему угла $\angle DCA$. Следовательно, $AB = AD$.

- Сторона $BC$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BAC$. Сторона $CD$ в $\triangle ADC$ лежит напротив равного ему угла $\angle DAC$. Следовательно, $BC = CD$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что смежные стороны данного четырехугольника попарно равны.

Ответ: Смежные стороны этого четырехугольника попарно равны, то есть $AB = AD$ и $BC = CD$.