Номер 1.16, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. Сколько острых углов может иметь выпуклый $n$-угольник? Обоснуйте ответ.

Для определения возможного количества острых углов в выпуклом n-угольнике воспользуемся свойством его внешних углов. Пусть внутренние углы выпуклого n-угольника равны $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$, где $\beta_i = 180^\circ - \alpha_i$. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$:

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i = 360^\circ$

Острый внутренний угол — это угол $\alpha_i < 90^\circ$. Если внутренний угол $\alpha_i$ является острым, то соответствующий ему внешний угол $\beta_i = 180^\circ - \alpha_i$ будет больше $90^\circ$ (тупым), так как $\beta_i > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Предположим, что выпуклый n-угольник имеет $k$ острых углов. Это означает, что у него есть $k$ внешних углов, каждый из которых больше $90^\circ$. Сумма этих $k$ внешних углов будет строго больше, чем $k \cdot 90^\circ$.

Поскольку все внешние углы выпуклого многоугольника положительны (так как все внутренние углы меньше $180^\circ$), общая сумма всех $n$ внешних углов будет больше, чем сумма только этих $k$ углов:

$360^\circ = \sum_{i=1}^{n} \beta_i > k \cdot 90^\circ$

Из этого неравенства следует:

$k < \frac{360^\circ}{90^\circ} \implies k < 4$

Так как $k$ (количество острых углов) — это целое неотрицательное число, то его максимальное возможное значение равно 3. Таким образом, выпуклый n-угольник может иметь 0, 1, 2 или 3 острых угла.

Теперь покажем, что каждое из этих значений возможно, приведя соответствующие примеры.

Такой многоугольник существует. Например, прямоугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$), то есть не острые. Другой пример — правильный пятиугольник, у которого каждый внутренний угол равен $108^\circ$. В общем, любой правильный n-угольник при $n \ge 4$ не имеет острых углов. Стоит отметить, что для треугольника ($n=3$) этот случай невозможен, так как у любого треугольника есть как минимум два острых угла.

Такой многоугольник существует. Например, можно построить четырехугольник. Возьмем один внешний угол равным $120^\circ$ (ему соответствует внутренний угол $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, который является острым). Оставшиеся $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ суммы внешних углов разделим на три других внешних угла, например, по $80^\circ$ каждый. Этим внешним углам соответствуют внутренние углы по $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ (тупые). Сумма внутренних углов полученного четырехугольника будет $60^\circ + 3 \cdot 100^\circ = 360^\circ$, что соответствует сумме углов выпуклого четырехугольника. Следовательно, такой многоугольник существует.

Такой многоугольник существует. Самый простой пример — любой прямоугольный треугольник (углы $90^\circ, \alpha, 90^\circ - \alpha$, где $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ — острые) или тупоугольный треугольник (один тупой угол и два острых).

Такой многоугольник существует. Любой остроугольный треугольник, например, равносторонний с углами по $60^\circ$, имеет три острых угла. Также можно построить и n-угольник с $n>3$, имеющий 3 острых угла. Например, четырехугольник с внутренними углами $89^\circ, 89^\circ, 89^\circ, 93^\circ$ (сумма $360^\circ$).

Таким образом, мы доказали, что количество острых углов в выпуклом n-угольнике не может превышать трёх, и показали, что все варианты от 0 до 3 возможны.

Ответ: Выпуклый n-угольник может иметь 0, 1, 2 или 3 острых угла.