Номер 1.14, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.14. Может ли выпуклый четырехугольник иметь:

1) три тупых угла;

2) два тупых и два прямых угла? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого четырехугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$.

Также вспомним определения типов углов:

• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна ровно $90^\circ$.
• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

1) три тупых угла

Предположим, что выпуклый четырехугольник имеет три тупых угла. Обозначим их как $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. По определению тупого угла, каждый из них больше $90^\circ$:

$\alpha_1 > 90^\circ$

$\alpha_2 > 90^\circ$

$\alpha_3 > 90^\circ$

Следовательно, сумма этих трех углов будет строго больше, чем $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$.

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 > 270^\circ$

Пусть четвертый угол равен $\alpha_4$. Так как сумма всех четырех углов равна $360^\circ$, то:

$\alpha_4 = 360^\circ - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$

Поскольку сумма первых трех углов больше $270^\circ$, для четвертого угла получаем:

$\alpha_4 < 360^\circ - 270^\circ$

$\alpha_4 < 90^\circ$

Это означает, что четвертый угол должен быть острым. Такое возможно. Например, можно взять три угла по $110^\circ$. Их сумма составит $3 \times 110^\circ = 330^\circ$. Тогда на долю четвертого угла останется $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$. Все углы ($110^\circ, 110^\circ, 110^\circ, 30^\circ$) меньше $180^\circ$, поэтому такой выпуклый четырехугольник существует.

Ответ: да, может.

2) два тупых и два прямых угла

Предположим, что выпуклый четырехугольник имеет два прямых угла и два тупых угла.

Сумма двух прямых углов составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Два других угла являются тупыми. Обозначим их $\beta_1$ и $\beta_2$. По определению, каждый из них больше $90^\circ$:

$\beta_1 > 90^\circ$

$\beta_2 > 90^\circ$

Следовательно, их сумма будет строго больше $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$:

$\beta_1 + \beta_2 > 180^\circ$

Теперь найдем общую сумму всех четырех углов такого четырехугольника:

Сумма = (сумма прямых углов) + (сумма тупых углов) = $180^\circ + (\beta_1 + \beta_2)$.

Так как $\beta_1 + \beta_2 > 180^\circ$, то общая сумма углов будет больше чем $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Получается, что сумма углов такого четырехугольника строго больше $360^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов выпуклого четырехугольника, которая должна быть в точности равна $360^\circ$. Следовательно, такое сочетание углов в выпуклом четырехугольнике невозможно.

Ответ: нет, не может.