Номер 1.17, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.17. Сколько диагоналей имеет выпуклый $n$-угольник?

Чтобы определить количество диагоналей в выпуклом n-угольнике, можно рассуждать несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Комбинаторный

Выпуклый n-угольник имеет $n$ вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две любые не соседние вершины.

Для начала найдем общее количество отрезков, которые можно провести между всеми парами вершин. Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов (вершин) по 2, поскольку для построения отрезка нам нужно выбрать две вершины, и порядок их выбора не имеет значения.

Число сочетаний из $n$ по 2 находится по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Это число включает в себя как диагонали, так и стороны многоугольника. У n-угольника есть ровно $n$ сторон. Чтобы найти количество диагоналей, нужно из общего числа отрезков вычесть количество сторон.

Пусть $D$ — количество диагоналей. Тогда: $D = C_n^2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n$

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим: $D = \frac{n(n-1) - 2n}{2} = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$

Способ 2: Подсчет из каждой вершины

Возьмем одну произвольную вершину многоугольника. Из нее можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме трех:

• самой этой вершины;
• двух соседних с ней вершин (отрезки к ним являются сторонами, а не диагоналями).

Таким образом, из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали.

Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то, умножив количество вершин на число диагоналей, выходящих из каждой, мы получим $n(n-3)$.

Однако при таком подсчете каждая диагональ (например, соединяющая вершину A и вершину B) будет посчитана дважды: один раз как выходящая из вершины A, и второй раз — как выходящая из вершины B. Поэтому полученный результат нужно разделить на 2.

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Оба способа приводят к одной и той же формуле. Формула верна для $n \ge 3$. Например, для треугольника ($n=3$) число диагоналей равно $\frac{3(3-3)}{2} = 0$, а для четырехугольника ($n=4$) — $\frac{4(4-3)}{2} = 2$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$