Номер 1.11, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.11. Докажите, что не существует многоугольника, у которого:

1) число внешних прямых углов больше четырех;

2) число внешних тупых углов больше трех.

Для решения этой задачи будем исходить из того, что речь идет о выпуклом многоугольнике. Ключевым свойством, которое мы будем использовать, является теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. Также важно, что все внешние углы выпуклого многоугольника положительны.

1) число внешних прямых углов больше четырех

Докажем от противного. Предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого число внешних прямых углов больше четырех. Пусть у этого многоугольника есть $k$ внешних прямых углов, где $k > 4$. Поскольку $k$ — целое число, то $k \ge 5$.

Прямой угол равен $90^\circ$. Сумма этих $k$ внешних прямых углов будет равна $k \times 90^\circ$.

Так как мы предположили, что $k \ge 5$, то сумма только этих углов будет не меньше, чем $5 \times 90^\circ = 450^\circ$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Мы получили, что сумма только части внешних углов ($k$ прямых углов) уже составляет не менее $450^\circ$. Это противоречит теореме о сумме внешних углов, так как сумма части положительных углов не может быть больше их общей суммы.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Не существует выпуклого многоугольника, у которого число внешних прямых углов больше четырех, так как их сумма превысила бы $360^\circ$.

2) число внешних тупых углов больше трех

Докажем также от противного. Предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого число внешних тупых углов больше трех. Пусть у этого многоугольника есть $m$ внешних тупых углов, где $m > 3$. Поскольку $m$ — целое число, то $m \ge 4$.

Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$. Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ — это внешние тупые углы. Для каждого из них выполняется неравенство $\alpha_i > 90^\circ$.

Найдем сумму этих $m$ углов: $\sum_{i=1}^{m} \alpha_i$.

Так как мы предположили, что $m \ge 4$ и каждый из этих углов больше $90^\circ$, то их сумма будет строго больше, чем $4 \times 90^\circ = 360^\circ$.

То есть, $\sum_{i=1}^{m} \alpha_i > 360^\circ$.

Это противоречит теореме о том, что сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна ровно $360^\circ$. Сумма части внешних углов оказалась больше общей суммы, что невозможно, так как все внешние углы положительны.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Не существует выпуклого многоугольника, у которого число внешних тупых углов больше трех, так как их сумма превысила бы $360^\circ$.