Номер 1.9, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.9. Может ли один из углов выпуклого четырехугольника быть больше, чем сумма трех остальных его углов? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством суммы углов четырехугольника и определением выпуклого четырехугольника.

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Пусть углы выпуклого четырехугольника равны $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ и $\alpha_4$. Тогда справедливо следующее равенство: $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ$.

Предположим, что один из углов (для определенности, $\alpha_1$) больше суммы трех остальных его углов. Математически это можно записать в виде неравенства: $\alpha_1 > \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$.

Из равенства суммы углов мы можем выразить сумму трех углов $(\alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4)$: $\alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ - \alpha_1$.

Теперь подставим это выражение в наше неравенство: $\alpha_1 > 360^\circ - \alpha_1$.

Решим полученное неравенство относительно $\alpha_1$:
$\alpha_1 + \alpha_1 > 360^\circ$
$2\alpha_1 > 360^\circ$
$\alpha_1 > 180^\circ$.

Таким образом, из нашего предположения следует, что угол $\alpha_1$ должен быть больше $180^\circ$.

Однако, по определению, четырехугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. Полученное нами условие $\alpha_1 > 180^\circ$ напрямую противоречит определению выпуклого четырехугольника.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что один из углов может быть больше суммы трех остальных, было неверным.

Ответ: нет, не может. В выпуклом четырехугольнике каждый угол меньше $180^\circ$. Если бы один из углов был больше суммы трех других, то, как было показано, его величина должна была бы превышать $180^\circ$, что противоречит определению выпуклого четырехугольника.