Номер 1.15, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. Как найти точку $O$, которая находится на одинаковом расстоянии от вершин $M$ и $N$ выпуклого четырехугольника $MNKP$ и на одинаковом расстоянии от вершин $K$ и $P$? Можно ли найти несколько таких точек?

Как найти точку О, которая находится на одинаковом расстоянии от вершин М и N выпуклого четырехугольника MNKP и на одинаковом расстоянии от вершин K и P?

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек (например, $M$ и $N$), представляет собой прямую, называемую серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($MN$).

Исходя из этого:

1. Условие, что точка $O$ равноудалена от вершин $M$ и $N$ (то есть, $OM = ON$), означает, что точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре $p_1$ к отрезку $MN$.
2. Аналогично, условие, что точка $O$ равноудалена от вершин $K$ и $P$ (то есть, $OK = OP$), означает, что точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре $p_2$ к отрезку $KP$.

Чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно, искомая точка $O$ должна принадлежать обеим прямым, $p_1$ и $p_2$. Следовательно, точка $O$ является точкой пересечения этих двух серединных перпендикуляров.

Алгоритм нахождения точки $O$:

1. Соединить точки $M$ и $N$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр $p_1$ к отрезку $MN$.
3. Соединить точки $K$ и $P$ отрезком.
4. Построить серединный перпендикуляр $p_2$ к отрезку $KP$.
5. Точка пересечения прямых $p_1$ и $p_2$ и есть искомая точка $O$.

Ответ: Искомая точка $O$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MN$ и серединного перпендикуляра к отрезку $KP$.

Можно ли найти несколько таких точек?

Количество искомых точек $O$ равно количеству точек пересечения двух прямых $p_1$ и $p_2$ на плоскости. Возможны три случая:

• Одна точка. Это наиболее общий случай, который возникает, когда прямые $p_1$ и $p_2$ не параллельны и пересекаются в одной-единственной точке. Это происходит, когда отрезки $MN$ и $KP$ не параллельны друг другу.
• Ни одной точки. Если прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны, но не совпадают, они не имеют точек пересечения. В этом случае точки $O$, удовлетворяющей условиям, не существует. Такое возможно, если отрезки $MN$ и $KP$ параллельны (например, являются основаниями трапеции $MNKP$), но четырехугольник не является равнобедренной трапецией.
• Бесконечно много точек. Если прямые $p_1$ и $p_2$ совпадают, то любая точка этой общей прямой будет решением. Это происходит в частном случае, когда четырехугольник $MNKP$ является равнобедренной трапецией, у которой $MN$ и $KP$ — параллельные основания. Тогда серединные перпендикуляры к основаниям совпадают, образуя ось симметрии трапеции.

Ответ: Да, возможно. Может существовать одна такая точка (общий случай), ни одной точки (если $MN \parallel KP$, но трапеция не равнобедренная), или бесконечно много точек (если $MNKP$ — равнобедренная трапеция с основаниями $MN$ и $KP$).