Номер 1.19, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. На сколько больше число диагоналей у выпуклого $(n+1)$-угольника, чем у $n$-угольника.

Для решения этой задачи необходимо сравнить количество диагоналей в двух многоугольниках: n-угольнике и (n+1)-угольнике.

Общая формула для вычисления числа диагоналей $D_k$ в выпуклом k-угольнике выглядит следующим образом:$D_k = \frac{k(k-3)}{2}$

Эта формула выводится из того, что из каждой из $k$ вершин можно провести диагональ ко всем другим вершинам, кроме самой себя и двух соседних (то есть к $k-3$ вершинам). Поскольку каждая диагональ соединяет две вершины, произведение $k(k-3)$ делится на 2, чтобы избежать двойного подсчета.

1. Вычислим число диагоналей для n-угольника.
Подставим в формулу $k=n$:$D_n = \frac{n(n-3)}{2}$

2. Вычислим число диагоналей для (n+1)-угольника.
Подставим в формулу $k=n+1$:$D_{n+1} = \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2} = \frac{(n+1)(n-2)}{2}$

3. Найдем разность между числом диагоналей $D_{n+1}$ и $D_n$.
$\Delta D = D_{n+1} - D_n = \frac{(n+1)(n-2)}{2} - \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь приведем выражение к общему знаменателю и выполним преобразования в числителе:$\Delta D = \frac{(n+1)(n-2) - n(n-3)}{2}$
$\Delta D = \frac{(n^2 - 2n + n - 2) - (n^2 - 3n)}{2}$
$\Delta D = \frac{(n^2 - n - 2) - n^2 + 3n}{2}$
$\Delta D = \frac{n^2 - n - 2 - n^2 + 3n}{2}$
Приведем подобные слагаемые:$\Delta D = \frac{2n - 2}{2}$
Вынесем общий множитель за скобки и сократим дробь:$\Delta D = \frac{2(n - 1)}{2} = n - 1$

Таким образом, число диагоналей у выпуклого $(n+1)$-угольника на $n-1$ больше, чем у $n$-угольника.

Ответ: на $n-1$.