Номер 1.23, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.23. Попробуйте доказать по-другому теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника утверждает, что сумма его внутренних углов равна $180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — число сторон. Классическое доказательство этой теоремы заключается в разбиении $n$-угольника на $n-2$ треугольника диагоналями, проведенными из одной вершины. Ниже представлен альтернативный способ доказательства.

Решение

1. Рассмотрим произвольный выпуклый $n$-угольник $A_1A_2...A_n$. Внутри него выберем произвольную точку $O$.

2. Соединим точку $O$ отрезками со всеми вершинами многоугольника: $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$.

3. В результате многоугольник будет разделен на $n$ треугольников: $\triangle A_1OA_2, \triangle A_2OA_3, \dots, \triangle A_nOA_1$.

4. Сумма углов в каждом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, сумма углов всех $n$ треугольников составляет $n \cdot 180^\circ$.

5. Сумма внутренних углов исходного многоугольника ($S_n$) равна сумме углов всех этих треугольников, но без учета суммы углов, сходящихся в общей вершине $O$. Углы многоугольника при вершинах $A_1, A_2, \dots, A_n$ являются частью углов полученных треугольников.

6. Сумма углов при точке $O$ ($\angle A_1OA_2 + \angle A_2OA_3 + \dots + \angle A_nOA_1$) образует полный угол, то есть равна $360^\circ$.

7. Следовательно, для нахождения суммы углов многоугольника $S_n$ нужно из суммарной величины углов всех треугольников вычесть величину полного угла при точке $O$:
$S_n = n \cdot 180^\circ - 360^\circ$

8. Вынесем за скобки общий множитель $180^\circ$:
$S_n = 180^\circ \cdot (n - 2)$

Таким образом, мы доказали теорему альтернативным способом.

Ответ: Альтернативное доказательство теоремы о сумме углов выпуклого $n$-угольника заключается в следующем. Внутри многоугольника выбирается произвольная точка $O$, которая соединяется отрезками со всеми вершинами. Это разбивает $n$-угольник на $n$ треугольников. Сумма углов многоугольника равна сумме углов всех этих треугольников ($n \cdot 180^\circ$) за вычетом суммы углов при центральной точке $O$, которая равна полному углу ($360^\circ$). В результате получаем искомую формулу: $S_n = n \cdot 180^\circ - 360^\circ = 180^\circ \cdot (n - 2)$.