Номер 1.26, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.26. Найдите все углы параллелограмма ABCD, если:

1) $ \angle A=80^{\circ} $

2) $ \angle B - \angle A = 30^{\circ} $

3) $ \angle A + \angle C = 140^{\circ} $

4) $ \angle B = 2 \angle A $

5) $ \angle ABD = 90^{\circ}, \angle ADB = 30^{\circ} $

1) В параллелограмме ABCD противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
По условию, $\angle A = 80^\circ$.
Противолежащий ему угол $\angle C$ также равен $80^\circ$: $\angle C = \angle A = 80^\circ$.
Угол, прилежащий к $\angle A$, например $\angle B$, можно найти из соотношения $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Противолежащий ему угол $\angle D$ также равен $100^\circ$: $\angle D = \angle B = 100^\circ$.
Ответ: $\angle A=80^\circ, \angle B=100^\circ, \angle C=80^\circ, \angle D=100^\circ$.

2) Нам даны два условия для углов $\angle A$ и $\angle B$:
1. Из условия задачи: $\angle B - \angle A = 30^\circ$.
2. Из свойства углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Получаем систему уравнений: $ \begin{cases} \angle B - \angle A = 30^\circ \\ \angle B + \angle A = 180^\circ \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(\angle B - \angle A) + (\angle B + \angle A) = 30^\circ + 180^\circ$.
$2\angle B = 210^\circ$, откуда $\angle B = 105^\circ$.
Подставим значение $\angle B$ во второе уравнение: $\angle A + 105^\circ = 180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
Так как противолежащие углы в параллелограмме равны: $\angle C = \angle A = 75^\circ$ и $\angle D = \angle B = 105^\circ$.
Ответ: $\angle A=75^\circ, \angle B=105^\circ, \angle C=75^\circ, \angle D=105^\circ$.

3) По условию $\angle A + \angle C = 140^\circ$.
В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle A = \angle C$.
Заменим $\angle C$ на $\angle A$ в данном уравнении:
$\angle A + \angle A = 140^\circ$
$2\angle A = 140^\circ$
$\angle A = 70^\circ$.
Следовательно, $\angle C = 70^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Противолежащий угол $\angle D$ равен $\angle B$, то есть $\angle D = 110^\circ$.
Ответ: $\angle A=70^\circ, \angle B=110^\circ, \angle C=70^\circ, \angle D=110^\circ$.

4) По условию $\angle B = 2\angle A$.
Используем свойство о сумме углов, прилежащих к одной стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Подставим в это уравнение данное условие:
$\angle A + 2\angle A = 180^\circ$
$3\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 60^\circ$.
Тогда $\angle B = 2\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Противолежащие углы равны: $\angle C = \angle A = 60^\circ$ и $\angle D = \angle B = 120^\circ$.
Ответ: $\angle A=60^\circ, \angle B=120^\circ, \angle C=60^\circ, \angle D=120^\circ$.

5) Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$.
По условию дано, что $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ADB = 30^\circ$.
Подставим известные значения: $\angle A + 90^\circ + 30^\circ = 180^\circ$.
$\angle A + 120^\circ = 180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь найдем остальные углы параллелограмма ABCD.
Противолежащий угол $\angle C = \angle A = 60^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $\angle B + \angle A = 180^\circ$.
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Противолежащий угол $\angle D = \angle B = 120^\circ$.
Ответ: $\angle A=60^\circ, \angle B=120^\circ, \angle C=60^\circ, \angle D=120^\circ$.