Номер 1.22, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.22. Найдите сумму всех отмеченных острых углов пятиугольной звезды (рис. 1.16).

Рис. 1.16

Для нахождения суммы отмеченных углов пятиугольной звезды, обозначим эти углы как $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5 $. Требуется найти их сумму $S = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5$.

Решение:

Рассмотрим пятиугольную звезду как фигуру, которая состоит из центрального пятиугольника и пяти треугольников, образующих её лучи.

1. Сумма углов в каждом из этих пяти треугольников равна $180^\circ$. Следовательно, общая сумма всех углов во всех пяти треугольниках составляет $5 \times 180^\circ = 900^\circ$. Эта общая сумма включает в себя искомую сумму углов звезды ($S$) и сумму десяти углов при основаниях этих пяти треугольников. Эти десять углов расположены в вершинах центрального пятиугольника.

2. Обозначим сумму углов при основаниях как $S_{оснований}$. Тогда можно записать первое уравнение: $S + S_{оснований} = 900^\circ$.

3. Теперь найдём значение $S_{оснований}$. Для этого рассмотрим центральный пятиугольник. Сумма его внутренних углов вычисляется по формуле $(n-2) \times 180^\circ$, где $n=5$ – число вершин. Таким образом, сумма внутренних углов пятиугольника равна $(5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$.

4. В каждой из пяти вершин центрального пятиугольника пересекаются две линии. Они образуют четыре угла, сумма которых равна $360^\circ$. Эти четыре угла состоят из одного внутреннего угла пятиугольника, одного вертикального ему угла (который равен внутреннему) и двух углов, являющихся углами при основаниях треугольников-лучей. Сумма всех углов вокруг всех пяти вершин пятиугольника равна $5 \times 360^\circ = 1800^\circ$. Эта величина складывается из суммы всех внутренних углов ($540^\circ$), суммы вертикальных им углов (также $540^\circ$) и искомой суммы углов при основаниях ($S_{оснований}$).

5. Запишем второе уравнение:

$S_{внутренних} + S_{вертикальных} + S_{оснований} = 1800^\circ$

$540^\circ + 540^\circ + S_{оснований} = 1800^\circ$

$1080^\circ + S_{оснований} = 1800^\circ$

Отсюда находим $S_{оснований}$:

$S_{оснований} = 1800^\circ - 1080^\circ = 720^\circ$.

6. Наконец, подставим найденное значение $S_{оснований}$ в первое уравнение:

$S + 720^\circ = 900^\circ$

Отсюда искомая сумма углов звезды $S$ равна:

$S = 900^\circ - 720^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, сумма всех отмеченных острых углов пятиугольной звезды всегда равна $180^\circ$, независимо от её формы.

Ответ: $180^\circ$.