Номер 1.33, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.2. Параллелограмм и его свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.33, страница 19.

Учебник rus.

1.33. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ – середина стороны $BC$, а точка $F$ – середина стороны $AD$. Докажите, что четырехугольник $BEDF$ – параллелограмм.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

По условию, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. По определению и свойствам параллелограмма, его противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, мы имеем два утверждения:
1. $BC = AD$
2. $BC \parallel AD$

Точка $E$ является серединой стороны $BC$, из этого следует, что длина отрезка $BE$ составляет половину длины стороны $BC$: $BE = \frac{1}{2}BC$.

Аналогично, точка $F$ является серединой стороны $AD$, поэтому длина отрезка $FD$ составляет половину длины стороны $AD$: $FD = \frac{1}{2}AD$.

Поскольку $BC = AD$, то и их половины равны между собой: $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD$. Из этого следует, что $BE = FD$.

Так как стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), то и отрезки $BE$ и $FD$, которые лежат на этих сторонах (или их продолжениях), также параллельны: $BE \parallel FD$.

Рассмотрим четырехугольник $BEDF$. Мы установили, что его противолежащие стороны $BE$ и $FD$ равны ($BE = FD$) и параллельны ($BE \parallel FD$).

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, четырехугольник $BEDF$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом по признаку параллелограмма, так как его противолежащие стороны $BE$ и $FD$ равны и параллельны.