Номер 1.40, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40. Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см. Может ли одна из диагоналей этого параллелограмма быть равна:

а) 10 см;

б) 8 см;

в) 4 см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сторон и диагонали любого треугольника, известным как неравенство треугольника. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Сторонами такого треугольника являются две смежные стороны параллелограмма и сама диагональ.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 3$ см и $b = 5$ см, а длина диагонали равна $d$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника должна быть строго меньше суммы длин двух других сторон и строго больше модуля их разности.

Применительно к нашему случаю, для диагонали $d$ должно выполняться двойное неравенство:

$|a - b| < d < a + b$

Подставим известные значения сторон $a$ и $b$:

$|3 - 5| < d < 3 + 5$

$2 \text{ см} < d < 8 \text{ см}$

Таким образом, длина любой диагонали этого параллелограмма должна быть в интервале от 2 см до 8 см (не включая концы интервала). Теперь проверим предложенные варианты.

а) 10 см

Проверим, может ли диагональ $d$ быть равной 10 см. Это значение не попадает в найденный нами диапазон $(2; 8)$, поскольку $10 > 8$. Это означает, что не выполняется неравенство треугольника $d < a + b$ (так как $10 \not< 3+5$). Следовательно, треугольник со сторонами 3 см, 5 см и 10 см не может существовать.

Ответ: нет, не может.

б) 8 см

Проверим, может ли диагональ $d$ быть равной 8 см. Это значение является верхней границей нашего диапазона, но не входит в него, так как неравенство $d < 8$ строгое. Равенство $d = a + b$ (то есть $8 = 3+5$) возможно только для вырожденного треугольника, у которого все вершины лежат на одной прямой. В этом случае параллелограмм "сплющивается" в отрезок, что не является геометрической фигурой "параллелограмм".

Ответ: нет, не может.

в) 4 см

Проверим, может ли диагональ $d$ быть равной 4 см. Это значение удовлетворяет условию $2 < d < 8$, так как $2 < 4 < 8$. Неравенство треугольника выполняется, и треугольник со сторонами 3 см, 5 см и 4 см может существовать. Значит, и параллелограмм с такой диагональю тоже может существовать.

Ответ: да, может.