Номер 1.42, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.42. Проведите прямую так, чтобы разделить параллелограмм на два равных между собой:

1) треугольника;

1) четырехугольника.

1) треугольника
Чтобы разделить параллелограмм на два равных треугольника, необходимо провести прямую, совпадающую с одной из его диагоналей.
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ делит параллелограмм на два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $.
Докажем, что эти треугольники равны.
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны:
1. $AB = CD$
2. $BC = AD$
Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Аналогичное доказательство можно провести для диагонали $BD$.
Ответ: Прямая должна совпадать с одной из диагоналей параллелограмма.

2) четырехугольника
Чтобы разделить параллелограмм на два равных четырехугольника, необходимо провести любую прямую через точку пересечения его диагоналей.
Параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии $O$ является точка пересечения его диагоналей. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит эту фигуру на две равные (конгруэнтные) части.
Пусть дан параллелограмм $ABCD$, и пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Проведем через точку $O$ произвольную прямую $l$, которая пересекает противоположные стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
Эта прямая делит параллелограмм на два четырехугольника: $ABMN$ и $CDNM$.
При центральной симметрии относительно точки $O$:
- Вершина $A$ переходит в вершину $C$.
- Вершина $B$ переходит в вершину $D$.
- Точка $M$ на стороне $BC$ переходит в точку $N$ на стороне $AD$ (так как $ \triangle BOM $ равен $ \triangle DON $ по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Таким образом, четырехугольник $ABMN$ при центральной симметрии с центром в точке $O$ полностью совмещается с четырехугольником $CDNM$. Следовательно, эти четырехугольники равны.
Ответ: Прямая должна проходить через точку пересечения диагоналей параллелограмма.