Номер 1.41, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, параллелен двум другим его сторонам.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина противоположной ей стороны $CD$. Нам необходимо доказать, что отрезок $MN$ параллелен двум другим сторонам параллелограмма, то есть $AD$ и $BC$.

1. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, для параллелограмма $ABCD$ справедливо: $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

2. Так как точка $M$ является серединой стороны $AB$, то длина отрезка $AM$ равна половине длины стороны $AB$, то есть $AM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, так как точка $N$ является серединой стороны $CD$, то $DN = \frac{1}{2}CD$.

3. Поскольку $AB = CD$, то и их половины равны между собой: $AM = DN$.

4. Так как прямые, на которых лежат стороны $AB$ и $CD$, параллельны, то и отрезки $AM$ и $DN$, являющиеся их частями, также параллельны: $AM \parallel DN$.

5. Рассмотрим четырехугольник $AMND$. В этом четырехугольнике две противоположные стороны, $AM$ и $DN$, как было показано, равны ($AM = DN$) и параллельны ($AM \parallel DN$).

6. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $AMND$ — это параллелограмм.

7. По определению параллелограмма, его другие противоположные стороны, а именно $MN$ и $AD$, также должны быть параллельны. Таким образом, $MN \parallel AD$.

8. В исходном параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ также параллельны ($AD \parallel BC$). Поскольку мы доказали, что $MN \parallel AD$, то по свойству транзитивности параллельных прямых (если прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ параллельна прямой $c$, то $a$ параллельна $c$) следует, что отрезок $MN$ также параллелен стороне $BC$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, параллелен двум другим его сторонам.

Ответ: Утверждение доказано.