Номер 1.47, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.2. Параллелограмм и его свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.47, страница 20.

Учебник rus.

1.47. Докажите, что биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны (рис. 1.26).

Рис. 1.26

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведём биссектрисы противолежащих углов A и C. Обозначим биссектрису угла A как AE, где точка E лежит на стороне CD, и биссектрису угла C как CF, где точка F лежит на стороне AB, в соответствии с рисунком.

Нам необходимо доказать, что биссектрисы AE и CF параллельны ($AE \parallel CF$).

Для доказательства мы покажем, что четырехугольник AFCE является параллелограммом. Если это так, то по определению параллелограмма его противолежащие стороны AE и CF будут параллельны.

Чтобы доказать, что AFCE — параллелограмм, воспользуемся признаком: если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Рассмотрим стороны AF и EC.

1. Параллельность сторон AF и EC.

   Сторона AF лежит на прямой AB, а сторона EC — на прямой CD. Поскольку ABCD является параллелограммом, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Следовательно, отрезки, лежащие на этих прямых, также параллельны: $AF \parallel EC$.

2. Равенство сторон AF и EC.

   Чтобы доказать, что $AF = EC$, рассмотрим треугольники ▵ADE и ▵CBF. Сравним их элементы:

   • $AD = CB$, так как это противолежащие стороны параллелограмма ABCD.
   • $\angle D = \angle B$, так как это противолежащие углы параллелограмма ABCD.
   • $\angle A = \angle C$ как противолежащие углы параллелограмма ABCD. Поскольку AE и CF — биссектрисы этих углов, то и половины этих углов равны: $\angle DAE = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle BCF = \frac{1}{2}\angle C$. Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle BCF$.

   Таким образом, треугольник ▵ADE равен треугольнику ▵CBF по стороне и двум прилежащим углам (в данном случае по стороне и двум углам, один из которых прилежащий, а другой противолежащий стороне, что является следствием из основного признака). Следовательно, $\triangle ADE \cong \triangle CBF$.

   Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $DE = BF$.

   Мы знаем, что в параллелограмме ABCD стороны $AB$ и $CD$ равны. Запишем это равенство через составляющие их отрезки:

   $AF + FB = CE + ED$

   Так как мы доказали, что $BF = DE$, мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей равенства:

   $AF + \cancel{FB} = CE + \cancel{ED}$

   В результате получаем $AF = EC$.

Мы установили, что в четырехугольнике AFCE противолежащие стороны AF и EC параллельны и равны. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник AFCE является параллелограммом.

Из определения параллелограмма следует, что его противолежащие стороны AE и CF также параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.