Номер 1.49, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. Прямая $KL$ – биссектриса внешнего угла при вершине $A$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что треугольник $KCL$ равнобедренный, если $AK = AL$ (точки $K$ и $L$ – точки пересечения продолжений сторон параллелограмма и биссектрисы $KL$).

Дано:
$ABCD$ – параллелограмм.
Прямая $KL$ – биссектриса внешнего угла при вершине $A$.
$K$ – точка пересечения биссектрисы $KL$ с продолжением стороны $DC$.
$L$ – точка пересечения биссектрисы $KL$ с продолжением стороны $BC$.
$AK = AL$.

Доказать:
Треугольник $KCL$ – равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $AKL$. По условию $AK = AL$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $△AKL$ – равнобедренный.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием треугольника $AKL$ является сторона $KL$. Значит, $∠AKL = ∠ALK$.

3. Точка $K$ лежит на продолжении стороны $DC$, это означает, что точки $D$, $C$, $K$ лежат на одной прямой. Поэтому угол $∠AKL$ и угол $∠CKL$ – это один и тот же угол: $∠AKL = ∠CKL$.

4. Аналогично, точка $L$ лежит на продолжении стороны $BC$, значит, точки $B$, $C$, $L$ лежат на одной прямой. Поэтому угол $∠ALK$ и угол $∠CLK$ – это один и тот же угол: $∠ALK = ∠CLK$.

5. Из равенств, полученных в пунктах 2, 3 и 4, следует, что $∠CKL = ∠CLK$.

6. Рассмотрим треугольник $KCL$. Мы установили, что два его угла, $∠CKL$ и $∠CLK$, равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным.

Таким образом, треугольник $KCL$ является равнобедренным, а его боковыми сторонами являются стороны $KC$ и $LC$, лежащие напротив равных углов.

Примечание: Можно заметить, что условие $AK = AL$ само по себе является следствием того, что прямая $KL$ — биссектриса внешнего угла параллелограмма. Доказательство того, что $△KCL$ равнобедренный, можно провести и без использования этого условия, опираясь только на свойства параллельных прямых и биссектрисы, что также приведет к выводу о равенстве углов $∠CKL$ и $∠CLK$.

Ответ: В треугольнике $KCL$ углы при основании $KL$ равны ($∠CKL = ∠CLK$), следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, $△KCL$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.