Страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. Прямая $KL$ – биссектриса внешнего угла при вершине $A$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что треугольник $KCL$ равнобедренный, если $AK = AL$ (точки $K$ и $L$ – точки пересечения продолжений сторон параллелограмма и биссектрисы $KL$).

Дано:
$ABCD$ – параллелограмм.
Прямая $KL$ – биссектриса внешнего угла при вершине $A$.
$K$ – точка пересечения биссектрисы $KL$ с продолжением стороны $DC$.
$L$ – точка пересечения биссектрисы $KL$ с продолжением стороны $BC$.
$AK = AL$.

Доказать:
Треугольник $KCL$ – равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $AKL$. По условию $AK = AL$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $△AKL$ – равнобедренный.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием треугольника $AKL$ является сторона $KL$. Значит, $∠AKL = ∠ALK$.

3. Точка $K$ лежит на продолжении стороны $DC$, это означает, что точки $D$, $C$, $K$ лежат на одной прямой. Поэтому угол $∠AKL$ и угол $∠CKL$ – это один и тот же угол: $∠AKL = ∠CKL$.

4. Аналогично, точка $L$ лежит на продолжении стороны $BC$, значит, точки $B$, $C$, $L$ лежат на одной прямой. Поэтому угол $∠ALK$ и угол $∠CLK$ – это один и тот же угол: $∠ALK = ∠CLK$.

5. Из равенств, полученных в пунктах 2, 3 и 4, следует, что $∠CKL = ∠CLK$.

6. Рассмотрим треугольник $KCL$. Мы установили, что два его угла, $∠CKL$ и $∠CLK$, равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным.

Таким образом, треугольник $KCL$ является равнобедренным, а его боковыми сторонами являются стороны $KC$ и $LC$, лежащие напротив равных углов.

Примечание: Можно заметить, что условие $AK = AL$ само по себе является следствием того, что прямая $KL$ — биссектриса внешнего угла параллелограмма. Доказательство того, что $△KCL$ равнобедренный, можно провести и без использования этого условия, опираясь только на свойства параллельных прямых и биссектрисы, что также приведет к выводу о равенстве углов $∠CKL$ и $∠CLK$.

Ответ: В треугольнике $KCL$ углы при основании $KL$ равны ($∠CKL = ∠CLK$), следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, $△KCL$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

1.50. Докажите, что угол, образованный медианой, проходящей между неравными сторонами треугольника, с меньшей из сторон, больше угла, образованного этой медианой с большей из сторон.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом дополнительного построения.

Дано:

Пусть имеется треугольник $ABC$, в котором стороны $AB$ и $AC$ не равны. Пусть $AM$ — медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Без ограничения общности, будем считать, что сторона $AC$ больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$.

Требуется доказать:

Угол, образованный медианой $AM$ и меньшей стороной $AB$ (угол $\angle BAM$), больше угла, образованного медианой $AM$ и большей стороной $AC$ (угол $\angle CAM$). То есть, нужно доказать, что $\angle BAM > \angle CAM$.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$. Соединим точку $D$ с вершиной $B$.

2. Рассмотрим полученный четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$. По нашему построению, $AM = MD$, значит, точка $M$ также является серединой отрезка $AD$.

3. Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм.

4. Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны и параллельны. В частности, сторона $BD$ равна стороне $AC$ ($BD = AC$), и прямые $BD$ и $AC$ параллельны ($BD \parallel AC$).

5. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны — $AB$, $BD$ и $AD$. По условию задачи, мы приняли, что $AC > AB$. Так как $BD = AC$, то в треугольнике $ABD$ сторона $BD$ больше стороны $AB$, то есть $BD > AB$.

6. Вспомним теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Применим эту теорему к треугольнику $ABD$:

• Напротив стороны $BD$ лежит угол $\angle BAD$.
• Напротив стороны $AB$ лежит угол $\angle BDA$.

Поскольку $BD > AB$, то и соответствующий противолежащий угол будет больше: $\angle BAD > \angle BDA$.

7. Установим связь между углами в треугольнике $ABD$ и углами, которые нам нужно сравнить:

• Угол $\angle BAD$ является тем же углом, что и $\angle BAM$, так как точка $M$ лежит на отрезке $AD$. Итак, $\angle BAD = \angle BAM$.
• Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны, а $AD$ является для них секущей, то накрест лежащие углы $\angle CAM$ и $\angle BDA$ равны. Итак, $\angle CAM = \angle BDA$.

8. Подставим полученные равенства в неравенство из пункта 6:

Если $\angle BAD > \angle BDA$, то это означает, что $\angle BAM > \angle CAM$.

Таким образом, мы доказали, что угол, образованный медианой с меньшей из двух сторон, больше угла, образованного этой же медианой с большей стороной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол, образованный медианой, проходящей между неравными сторонами треугольника, с меньшей из сторон, действительно больше угла, образованного этой медианой с большей из сторон.

1.51. Докажите, что:

а) четырехугольник, полученный при пересечении биссектрис углов параллелограмма, является параллелограммом;

б) все углы в таком четырехугольнике прямые.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы его углов $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ при пересечении образуют четырехугольник $PQRS$. Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle A$ и $\angle D$, $Q$ — углов $\angle A$ и $\angle B$, $R$ — углов $\angle B$ и $\angle C$, $S$ — углов $\angle C$ и $\angle D$.

а) Докажите, что четырехугольник, полученный при пересечении биссектрис углов параллелограмма, является параллелограммом

Для доказательства того, что $PQRS$ является параллелограммом, достаточно доказать, что его противолежащие стороны попарно параллельны, то есть $PQ \parallel SR$ и $PS \parallel QR$.

1. Докажем, что $PS \parallel QR$.

Сторона $PS$ лежит на биссектрисе угла $\angle D$, а сторона $QR$ — на биссектрисе угла $\angle B$. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны параллельны ($AD \parallel BC$) и противолежащие углы равны ($\angle B = \angle D$).

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую — биссектрису угла $\angle B$. Пусть она пересекает сторону $AD$ в точке $K$. Углы $\angle AKB$ и $\angle KBC$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны. Так как $BK$ — биссектриса, то $\angle KBC = \frac{\angle B}{2}$. Значит, $\angle AKB = \frac{\angle B}{2}$.

Теперь рассмотрим биссектрису угла $\angle D$. Она образует со стороной $AD$ угол, равный $\frac{\angle D}{2}$.

Поскольку $\angle B = \angle D$, то и $\frac{\angle B}{2} = \frac{\angle D}{2}$.

Таким образом, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle D$ образуют с прямой $AD$ равные углы ($\angle AKB$ и $\angle(l_D, AD)$). Следовательно, эти биссектрисы параллельны, а значит, параллельны и отрезки $PS$ и $QR$, лежащие на них.

2. Докажем, что $PQ \parallel SR$.

Сторона $PQ$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, а сторона $SR$ — на биссектрисе угла $\angle C$. В параллелограмме $AB \parallel DC$ и $\angle A = \angle C$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую — биссектрису угла $\angle A$. Пусть она пересекает сторону $DC$ в точке $E$. Углы $\angle BAE$ и $\angle AED$ являются накрест лежащими, следовательно, $\angle AED = \angle BAE = \frac{\angle A}{2}$.

Биссектриса угла $\angle C$ образует со стороной $DC$ угол, равный $\frac{\angle C}{2}$.

Так как $\angle A = \angle C$, то и $\frac{\angle A}{2} = \frac{\angle C}{2}$.

Биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle C$ образуют с прямой $DC$ равные углы, значит, они параллельны. Следовательно, $PQ \parallel SR$.

Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $PQRS$ попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажите, что все углы в таком четырехугольнике прямые

Рассмотрим угол четырехугольника $PQRS$ при вершине $P$. Этот угол является углом $\angle APD$ в треугольнике $\triangle APD$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA)$.

Так как $AP$ и $DP$ — биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle D$ параллелограмма $ABCD$, то:

$\angle PAD = \frac{\angle A}{2}$

$\angle PDA = \frac{\angle D}{2}$

Следовательно, $\angle APD = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle D}{2}) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle D}{2}$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

Подставим это значение в выражение для угла $\angle APD$:

$\angle APD = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Итак, один из углов параллелограмма $PQRS$, угол $\angle SPQ$, равен $90^\circ$.

Поскольку $PQRS$ — параллелограмм (доказано в пункте а), его свойства гласят:

• противоположные углы равны: $\angle QRS = \angle SPQ = 90^\circ$;
• сумма соседних углов равна $180^\circ$: $\angle PQR = 180^\circ - \angle SPQ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, и $\angle PSR = 180^\circ - \angle SPQ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, все углы четырехугольника $PQRS$ являются прямыми.

Ответ: Утверждение доказано.

1.52. Окружности пересекаются в точках M и N (рис. 1.27). Докажите:

1) $ \Delta O_1MO_2 = \Delta O_1NO_2 $;

2) $ \Delta MO_1N $ и $ \Delta MO_2N $ являются равнобедренными треугольниками.

Рис. 1.27

1) Докажите: $\Delta O_1MO_2 = \Delta O_1NO_2$

Рассмотрим два треугольника: $\Delta O_1MO_2$ и $\Delta O_1NO_2$.

• Сторона $O_1M$ равна стороне $O_1N$, так как обе они являются радиусами первой окружности с центром в точке $O_1$.
• Сторона $O_2M$ равна стороне $O_2N$, так как обе они являются радиусами второй окружности с центром в точке $O_2$.
• Сторона $O_1O_2$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\Delta O_1MO_2$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\Delta O_1NO_2$), эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Равенство треугольников $\Delta O_1MO_2$ и $\Delta O_1NO_2$ доказано.

2) Докажите: $\Delta MO_1N$ и $\Delta MO_2N$ являются равнобедренными треугольниками.

Сначала рассмотрим треугольник $\Delta MO_1N$. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности с центром в точке $O_1$. Отрезки $O_1M$ и $O_1N$ соединяют центр окружности с точками на ней, следовательно, они являются радиусами этой окружности. Таким образом, $O_1M = O_1N$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Значит, $\Delta MO_1N$ — равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник $\Delta MO_2N$. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности с центром в точке $O_2$. Отрезки $O_2M$ и $O_2N$ являются радиусами этой окружности. Таким образом, $O_2M = O_2N$. Следовательно, треугольник $\Delta MO_2N$ также является равнобедренным.

Ответ: Доказано, что треугольники $\Delta MO_1N$ и $\Delta MO_2N$ являются равнобедренными.