Страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.84. Любой выпуклый четырехугольник, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом. Докажите этот признак ромба.

Чтобы доказать, что любой выпуклый четырехугольник, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом, необходимо показать, что все стороны такого четырехугольника равны.

Дано:
ABCD — выпуклый четырехугольник.
Диагональ AC — биссектриса угла $ \angle A $ (т. е. $ \angle BAC = \angle DAC $) и угла $ \angle C $ (т. е. $ \angle BCA = \angle DCA $).
Диагональ BD — биссектриса угла $ \angle B $ (т. е. $ \angle ABD = \angle CBD $) и угла $ \angle D $ (т. е. $ \angle ADB = \angle CDB $).

Доказать:
Четырехугольник ABCD — ромб (т. е. $ AB = BC = CD = DA $).

Доказательство:
Доказательство можно построить, сравнивая треугольники, на которые диагонали делят четырехугольник.

1. Сначала рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $, которые образуются при проведении диагонали AC.
- Сторона AC у этих треугольников общая.
- По условию, AC — биссектриса угла $ \angle A $, поэтому $ \angle BAC = \angle DAC $.
- Также по условию, AC — биссектриса угла $ \angle C $, поэтому $ \angle BCA = \angle DCA $.
Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle ADC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $ AB = AD $ и $ BC = CD $.

2. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $, которые образуются при проведении диагонали BD.
- Сторона BD у этих треугольников общая.
- По условию, BD — биссектриса угла $ \angle B $, поэтому $ \angle ABD = \angle CBD $.
- Также по условию, BD — биссектриса угла $ \angle D $, поэтому $ \angle ADB = \angle CDB $.
Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle CBD $ по второму признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство соответствующих сторон: $ AB = BC $ и $ AD = DC $.

3. Объединим полученные результаты.
Из первого пункта мы установили, что $ AB = AD $ и $ BC = CD $.
Из второго пункта мы установили, что $ AB = BC $.
Сопоставив все равенства, получаем: $ AB = BC = CD = AD $.

Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны между собой. По определению, четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Утверждение доказано.

Ответ: Признак ромба доказан. Если в выпуклом четырехугольнике диагонали являются биссектрисами его углов, то такой четырехугольник имеет все стороны равной длины и, следовательно, является ромбом.

1.85. Из вершины прямоугольника $ABCD$ на его диагональ опущен перпендикуляр, который делит угол прямоугольника в отношении 3 : 1.

Найдите угол между этим перпендикуляром и второй диагональю.

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ из вершины $B$ на диагональ $AC$ опущен перпендикуляр $BH$. Таким образом, $BH \perp AC$. По условию, этот перпендикуляр делит прямой угол $\angle ABC$ в отношении $3:1$.

1. Найдем величины углов, на которые перпендикуляр $BH$ делит угол $\angle ABC$.Угол прямоугольника $\angle ABC = 90°$. Обозначим части угла как $3x$ и $x$.Их сумма равна полному углу:$3x + x = 90°$$4x = 90°$$x = \frac{90°}{4} = 22.5°$Следовательно, перпендикуляр $BH$ делит угол $\angle ABC$ на два угла: $\angle ABH = 3 \cdot 22.5° = 67.5°$ и $\angle HBC = 1 \cdot 22.5° = 22.5°$. (Какой из них больше, зависит от соотношения сторон прямоугольника, но на конечный результат это не повлияет).

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Так как $BH$ — перпендикуляр, $\angle BHA = 90°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Найдем угол $\angle BAH$:$\angle BAH = 90° - \angle ABH = 90° - 67.5° = 22.5°$Угол $\angle BAH$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$. Значит, $\angle BAC = 22.5°$.

3. Теперь рассмотрим диагонали прямоугольника. Диагонали $AC$ и $BD$ равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Отсюда следует, что $AO = BO = CO = DO$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Поскольку $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:$\angle OBA = \angle OAB$Так как $\angle OAB$ это тот же угол, что и $\angle BAC$, то $\angle OBA = \angle BAC = 22.5°$.Угол $\angle OBA$ — это то же самое, что и угол $\angle DBA$. Таким образом, $\angle DBA = 22.5°$.

5. Искомый угол — это угол между перпендикуляром $BH$ и второй диагональю $BD$, то есть $\angle HBD$. Мы можем найти его как разность углов $\angle ABH$ и $\angle DBA$:$\angle HBD = \angle ABH - \angle DBA$$\angle HBD = 67.5° - 22.5° = 45°$

Ответ: 45°.

1.86. Диагональ ромба составляет 25% от его периметра, равного $2p$.

Найдите сторону, эту диагональ и углы ромба.

Обозначим сторону ромба через a, его периметр — P, а данную диагональ — d. По условию задачи, периметр ромба $P = 2p$. Диагональ d составляет 25% от периметра, то есть $d = 0.25 \times P$.

сторону

Периметр ромба — это сумма длин его четырех равных сторон, поэтому формула периметра: $P = 4a$. Подставим в эту формулу значение периметра из условия: $4a = 2p$. Чтобы найти длину стороны a, разделим обе части уравнения на 4: $a = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$.

Ответ: Сторона ромба равна $\frac{p}{2}$.

эту диагональ

Согласно условию, диагональ d составляет 25% от периметра P. $d = 0.25 \times P$. Поскольку $P = 2p$ и $0.25 = \frac{1}{4}$, мы можем вычислить длину диагонали: $d = \frac{1}{4} \times (2p) = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$.

Ответ: Длина этой диагонали равна $\frac{p}{2}$.

углы ромба

Рассмотрим треугольник, который образован двумя смежными сторонами ромба (длиной a) и указанной диагональю (длиной d). Из предыдущих вычислений мы установили, что $a = \frac{p}{2}$ и $d = \frac{p}{2}$. Поскольку все три стороны этого треугольника равны ($a=a=d$), он является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Один из этих углов также является углом ромба. Следовательно, один из углов ромба равен $60^\circ$. В ромбе противоположные углы равны, значит, имеется и второй угол, равный $60^\circ$.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдем величину двух других углов: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Таким образом, два других угла ромба равны по $120^\circ$.

Ответ: Два угла ромба равны по $60^\circ$, а два других — по $120^\circ$.