Страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.117. Как использовать свойство средней линии треугольника для определения расстояния между двумя пунктами, расположенными на разных берегах реки?

Для определения расстояния между двумя пунктами, расположенными на разных берегах реки, с использованием свойства средней линии треугольника, необходимо выполнить следующую последовательность геометрических построений и измерений на местности.

Пусть точка $A$ находится на одном берегу реки (нашем), а точка $B$ — на противоположном, недоступном берегу. Расстояние, которое нужно определить, — это длина отрезка $AB$.

Метод основан на построении на доступной нам местности треугольника, в котором искомое расстояние $AB$ будет являться основанием, а отрезок, который мы можем измерить, — его средней линией.

Пошаговый план действий:

1. Выбор вспомогательной точки. На нашем берегу, где находится точка $A$, выберем произвольную третью точку $C$, из которой хорошо видна точка $B$. Точки $A$, $B$ и $C$ образуют вершины воображаемого треугольника $\triangle ABC$.
2. Нахождение середины одной из сторон. С помощью рулетки или другого измерительного инструмента измерим расстояние между точками $A$ и $C$ (обе находятся на нашем берегу). Найдем середину этого отрезка и обозначим ее точкой $M$. Таким образом, $AM = MC$.
3. Построение прямой, параллельной основанию. Теперь необходимо из точки $M$ провести прямую, параллельную отрезку $AB$. Для этого воспользуемся свойством параллельных прямых: соответственные углы при пересечении секущей равны.
   • С помощью угломерного инструмента (например, теодолита, астролябии или простого самодельного приспособления) измерим угол $\angle BAC$.
   • Переместившись в точку $M$, отложим от луча $MC$ угол, равный измеренному углу $\angle BAC$. Построим луч $MN$ так, чтобы $\angle CMN = \angle BAC$. При таком построении прямая $MN$ будет параллельна прямой $AB$.
4. Определение второй точки средней линии. Точка $N$ — это точка пересечения построенного нами луча $MN$ и линии визирования (линии взгляда) из точки $C$ на точку $B$.
5. Применение свойства средней линии. Согласно теореме, обратной теореме о средней линии, если прямая ($MN$) проходит через середину одной стороны треугольника ($AC$) и параллельна второй стороне ($AB$), то она пересекает третью сторону ($BC$) в ее середине. Следовательно, точка $N$ является серединой стороны $BC$, а отрезок $MN$ — средней линией треугольника $\triangle ABC$.
   Важное замечание: Этот метод теоретически верен, но на практике точка $N$ окажется в реке или на противоположном берегу, так как она лежит на отрезке $BC$. Поэтому данный метод сложно реализуем.

Существует более практичный метод, который использует идею центральной симметрии, тесно связанную со свойствами средней линии. Он позволяет создать копию нужного нам треугольника на доступной местности.

Практический метод (метод построения симметричного треугольника):

1. Пусть $A$ — точка на противоположном берегу, а $B$ — точка на нашем берегу.
2. На нашем берегу выберем удобную точку $C$.
3. Измерим расстояние $BC$ и продолжим эту прямую за точку $C$ на такое же расстояние, отметив точку $D$. Таким образом, точка $C$ станет серединой отрезка $BD$ ($BC = CD$).
4. Теперь нам нужно определить на нашем берегу точку $E$, которая лежит на одной прямой с точками $A$ и $C$. Для этого нужно смотреть из-за точки $C$ на точку $A$ и отмечать на земле линию визирования.
5. Далее, необходимо построить отрезок $DE$ параллельно искомому отрезку $AB$. Для этого:
   • Измеряем в точке $B$ угол $\angle ABC$.
   • В точке $D$ строим угол $\angle CDE$, равный углу $\angle ABC$, так, чтобы луч $DE$ был направлен в ту же сторону относительно прямой $BD$, что и луч $BA$ относительно прямой $BD$.
6. Точка $E$ будет точкой пересечения луча $DE$ и ранее отмеченной линии визирования $AC$.
7. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$:
   • $BC = DC$ (по построению).
   • $\angle ACB = \angle ECD$ (как вертикальные углы).
   • $\angle ABC = \angle EDC$ (по построению).
   Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle EDC$.
8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = ED$.
9. Измеряем расстояние между точками $E$ и $D$, которые обе находятся на нашем берегу. Это и будет искомое расстояние до точки $A$.

Хотя этот второй метод напрямую использует признаки равенства треугольников, он идейно близок к свойству средней линии, так как оба основаны на подобии и параллельности в треугольниках. Конструкция с созданием середины отрезка ($C$ — середина $BD$) является ключевым шагом, роднящим этот метод с темой средней линии.

Ответ: Для определения расстояния $AB$ ($A$ — на нашем берегу, $B$ — на противоположном) можно построить на своем берегу треугольник, где $AB$ будет основанием. Для этого выбирается точка $C$, находится середина $M$ стороны $AC$. Затем измеряется угол $\angle BAC$ и строится прямая $MN \parallel AB$ (откладывая угол $\angle CMN = \angle BAC$). Отрезок $MN$ будет средней линией. Измерив $MN$, находят искомое расстояние по формуле $AB = 2 \cdot MN$. Однако этот метод практически неосуществим. Более надежный практический метод заключается в построении на своем берегу треугольника, равного исходному, через центральную симметрию, как описано во втором варианте. Измерив соответствующую сторону в новом треугольнике, мы найдем искомое расстояние.

... равных берегах реки?

1.118. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон. Докажите, что эти последние противоположные стороны параллельны.

Решение:

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$. По условию задачи, длина отрезка $MN$ равна полусумме длин двух других сторон $AD$ и $BC$: $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Нужно доказать, что $AD \parallel BC$.

Рассмотрим дополнительное построение. Соединим точку $A$ с точкой $C$, получив диагональ $AC$. Отметим на этой диагонали середину — точку $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $MK$ параллелен стороне $BC$ и равен ее половине: $MK \parallel BC$ и $MK = \frac{1}{2}BC$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, отрезок $KN$ параллелен стороне $AD$ и равен ее половине: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

3. Теперь рассмотрим три точки $M$, $K$ и $N$. Эти точки образуют треугольник $MKN$ (или лежат на одной прямой). Для сторон этого треугольника справедливо неравенство треугольника: $MN \le MK + KN$.

Подставим в это неравенство найденные значения для $MK$ и $KN$: $MN \le \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD$, что эквивалентно $MN \le \frac{AD + BC}{2}$.

Однако по условию задачи нам дано, что $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Это означает, что неравенство треугольника для точек $M$, $K$, $N$ обращается в равенство: $MN = MK + KN$. Равенство в неравенстве треугольника достигается только в том случае, когда точки лежат на одной прямой, причем точка $K$ лежит между точками $M$ и $N$.

Если точки $M$, $K$, $N$ лежат на одной прямой, то отрезки $MK$ и $KN$ также лежат на этой прямой (или на параллельных прямых, что в данном случае сводится к одной прямой, так как у них есть общая точка $K$). Мы знаем, что $MK \parallel BC$ и $KN \parallel AD$. Поскольку отрезки $MK$ и $KN$ лежат на одной прямой, они параллельны. Следовательно, прямые $BC$ и $AD$, которым они параллельны, также должны быть параллельны между собой. Таким образом, $AD \parallel BC$.

Ответ: Утверждение доказано.

1.119. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна длине высоты, проведенной из вершины при основании (рис. 1.58).

Рис. 1.58

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $D$ — произвольная точка, лежащая на основании $AC$.

Обозначим расстояния от точки $D$ до боковых сторон $AB$ и $BC$ как $DE$ и $DF$ соответственно. По определению расстояния, $DE$ и $DF$ являются перпендикулярами, опущенными из точки $D$ на стороны $AB$ и $BC$, то есть $DE \perp AB$ и $DF \perp BC$.

Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины при основании $A$ к боковой стороне $BC$, то есть $AH \perp BC$.

Необходимо доказать, что сумма расстояний $DE + DF$ равна длине высоты $AH$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $D$ с вершиной $B$, противолежащей основанию. Отрезок $BD$ разделяет треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников:
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD}$

Площадь каждого из этих треугольников можно выразить через длину основания и высоту, проведенную к этому основанию.
Для $\triangle ABD$ в качестве основания возьмем сторону $AB$. Тогда высота, проведенная к этому основанию, — это перпендикуляр $DE$. Площадь равна:
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE$
Для $\triangle CBD$ в качестве основания возьмем сторону $BC$. Высота, проведенная к этому основанию, — это перпендикуляр $DF$. Площадь равна:
$S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DF$

Теперь подставим эти выражения в формулу для площади $\triangle ABC$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DF$

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Заменим в формуле $AB$ на $BC$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DE + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DF$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \cdot BC$ за скобки:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (DE + DF)$

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ можно вычислить, используя ту же сторону $BC$ в качестве основания и высоту $AH$, проведенную к ней из вершины $A$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

Теперь мы имеем два выражения для одной и той же площади. Приравняем их правые части:
$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot (DE + DF) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

Так как длина стороны $BC$ не равна нулю, мы можем сократить обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{2} \cdot BC$:
$DE + DF = AH$

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна длине высоты, проведенной из вершины при основании. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1.120. Постройте прямую, которая равноудалена от трех точек, не лежащих на одной прямой.

Сколько решений имеет задача?

Постройте прямую, которая равноудалена от трех точек, не лежащих на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Для построения искомых прямых, равноудаленных от этих точек, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, чтобы получить треугольник $ABC$.
2. С помощью циркуля и линейки найти середины каждой из сторон треугольника. Обозначим середину стороны $AB$ как $M_{c}$, середину стороны $BC$ как $M_{a}$ и середину стороны $AC$ как $M_{b}$.
3. Провести прямые через каждую пару найденных середин. Таких прямых будет три:
   • Прямая $l_1$, проходящая через точки $M_a$ и $M_b$.
   • Прямая $l_2$, проходящая через точки $M_b$ и $M_c$.
   • Прямая $l_3$, проходящая через точки $M_c$ и $M_a$.

Эти три прямые являются средними линиями треугольника $ABC$ и представляют собой искомые решения.

Рассмотрим, почему, например, прямая $l_1$ (проходящая через $M_a$ и $M_b$) равноудалена от вершин $A, B, C$. Прямая, равноудаленная от двух точек, либо проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки (если точки по разные стороны от прямой), либо параллельна этому отрезку (если точки по одну сторону).

• Прямая $l_1$ проходит через точку $M_b$, которая является серединой отрезка $AC$. Точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от $l_1$, следовательно, $d(A, l_1) = d(C, l_1)$.
• Прямая $l_1$ проходит через точку $M_a$, которая является серединой отрезка $BC$. Точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от $l_1$, следовательно, $d(B, l_1) = d(C, l_1)$.

Из этих двух равенств следует, что $d(A, l_1) = d(B, l_1) = d(C, l_1)$, что и требовалось доказать. Аналогичные рассуждения применимы и к двум другим средним линиям.

Ответ: Для построения искомых прямых необходимо соединить три данные точки, образовав треугольник. Затем следует найти середины каждой из трех сторон этого треугольника. Прямые, проведенные через каждую пару этих середин (т.е. средние линии треугольника), и являются искомыми.

Сколько решений имеет задача?

Для определения общего количества решений необходимо проанализировать все возможные случаи расположения искомой прямой $l$ относительно трех точек $A, B, C$. Так как точки не лежат на одной прямой, искомая прямая не может проходить ни через одну из них (иначе расстояние до нее было бы равно нулю, что повлекло бы расположение всех трех точек на этой прямой).

Случай 1: Все три точки $A, B, C$ лежат по одну сторону от прямой $l$.
В этом случае для выполнения условия равноудаленности прямая $l$ должна быть параллельна каждому из отрезков $AB$, $BC$ и $AC$. Поскольку точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, эти отрезки не параллельны друг другу. Одна прямая не может быть одновременно параллельна двум непараллельным прямым. Следовательно, в данном случае решений нет.

Случай 2: Две точки лежат по одну сторону от прямой $l$, а третья — по другую.
Это единственный оставшийся вариант. Пусть, например, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $l$, а точка $C$ — по другую. Тогда должны выполняться следующие условия:

• $d(A, l) = d(B, l)$ (точки $A, B$ по одну сторону) $\implies l \parallel AB$.
• $d(A, l) = d(C, l)$ (точки $A, C$ по разные стороны) $\implies l$ проходит через середину отрезка $AC$.
• $d(B, l) = d(C, l)$ (точки $B, C$ по разные стороны) $\implies l$ проходит через середину отрезка $BC$.

Прямая, проходящая через середины сторон $AC$ и $BC$, является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне $AB$. Таким образом, все три условия выполняются, и такая прямая является решением.

Существует ровно три способа выбрать, какая из трех точек окажется по одну сторону от прямой, а две другие — по другую. Каждому такому способу соответствует одна уникальная средняя линия треугольника $ABC$:

1. Точка $C$ с одной стороны, $A$ и $B$ с другой. Решение — средняя линия, проходящая через середины $AC$ и $BC$.
2. Точка $B$ с одной стороны, $A$ и $C$ с другой. Решение — средняя линия, проходящая через середины $AB$ и $BC$.
3. Точка $A$ с одной стороны, $B$ и $C$ с другой. Решение — средняя линия, проходящая через середины $AB$ и $AC$.

Поскольку других случаев расположения точек нет, существует ровно три решения.

Ответ: Задача имеет 3 решения.

1.121. От чертежа треугольника сохранились только три точки, которые были серединами его сторон. Восстановите чертеж треугольника.

Пусть нам даны три точки M, N и P, которые являются серединами сторон искомого треугольника ABC. Без ограничения общности, пусть точка M – середина стороны AB, точка N – середина стороны BC, а точка P – середина стороны AC.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Такая линия всегда параллельна третьей стороне и равна её половине.

Исходя из этого свойства, мы имеем следующие соотношения для треугольника MNP, образованного заданными точками, и искомого треугольника $\triangle ABC$ :
• Отрезок MN является средней линией $\triangle ABC$, следовательно, он параллелен стороне AC ($MN \parallel AC$).
• Отрезок NP является средней линией $\triangle ABC$, следовательно, он параллелен стороне AB ($NP \parallel AB$).
• Отрезок PM является средней линией $\triangle ABC$, следовательно, он параллелен стороне BC ($PM \parallel BC$).

Таким образом, каждая сторона искомого треугольника ABC проходит через одну из заданных точек (свою середину) и параллельна стороне треугольника MNP, которая соединяет середины двух других сторон.

Решение (алгоритм построения)

1. Соединим данные точки M, N и P отрезками, чтобы получить вспомогательный треугольник MNP.
2. Через точку M проведем прямую, параллельную отрезку NP. Эта прямая будет содержать сторону AB искомого треугольника.
3. Через точку N проведем прямую, параллельную отрезку MP. Эта прямая будет содержать сторону BC искомого треугольника.
4. Через точку P проведем прямую, параллельную отрезку MN. Эта прямая будет содержать сторону AC искомого треугольника.
5. Точки пересечения этих трех построенных прямых и будут являться вершинами A, B и C искомого треугольника.

Обоснование корректности построения

Докажем, что построенный таким образом треугольник действительно является искомым. Пусть A, B, C — точки пересечения построенных прямых.

Рассмотрим четырехугольник AMNP. По построению, сторона AM лежит на прямой, параллельной NP, а сторона AP лежит на прямой, параллельной MN. Следовательно, AMNP является параллелограммом.

Аналогично, рассмотрим четырехугольники BNPM и CNPM. Они также являются параллелограммами, так как их противоположные стороны попарно параллельны по построению.

Из свойств параллелограмма (равенство противоположных сторон) мы получаем:
Из параллелограмма AMNP следует, что $AM = NP$.
Из параллелограмма BNPM следует, что $BM = NP$.
Следовательно, $AM = BM$, что по определению означает, что M — середина стороны AB.

Аналогично:
Из параллелограмма BNPM следует, что $BN = MP$.
Из параллелограмма CNPM следует, что $CN = MP$.
Следовательно, $BN = CN$, то есть N — середина стороны BC.

И для последней стороны:
Из параллелограмма CNPM следует, что $CP = MN$.
Из параллелограмма AMNP следует, что $AP = MN$.
Следовательно, $AP = CP$, то есть P — середина стороны AC.

Мы доказали, что точки M, N и P являются серединами сторон построенного треугольника ABC. Таким образом, построенный треугольник является искомым, и такое решение единственно.

Ответ: Для восстановления исходного треугольника по трем заданным точкам, являющимся серединами его сторон, необходимо выполнить следующие построения: через каждую из трех данных точек провести прямую, параллельную прямой, соединяющей две другие точки. Три построенные прямые пересекутся в трех точках, которые и будут вершинами искомого треугольника.

1.122. Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC = a$, $AC = b$ — данные стороны, и пусть $∠A = \alpha$, $∠B = \beta$ — противолежащие им углы. Дана разность этих углов $δ = |\alpha - \beta|$.

Для определенности предположим, что $a > b$. Тогда по свойству треугольника, напротив большей стороны лежит больший угол, то есть $\alpha > \beta$. Таким образом, $α - \beta = δ$, откуда $α = \beta + δ$.

Применим к треугольнику $ABC$ теорему синусов:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Подставим выражение для $α$:

$\frac{a}{\sin(\beta + \delta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Раскроем пропорцию и используем формулу синуса суммы:

$a \sin(\beta) = b \sin(\beta + \delta)$

$a \sin(\beta) = b (\sin(\beta)\cos(\delta) + \cos(\beta)\sin(\delta))$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $\beta$:

$a \sin(\beta) - b \sin(\beta)\cos(\delta) = b \cos(\beta)\sin(\delta)$

$(a - b \cos(\delta)) \sin(\beta) = b \sin(\delta) \cos(\beta)$

Предполагая, что $\sin(\beta) \neq 0$ и $b \sin(\delta) \neq 0$ (что верно для невырожденного треугольника и $δ \neq 0, 180°$), разделим обе части на $\sin(\beta)$ и на $b \sin(\delta)$:

$\frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$

$\cot(\beta) = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$

Эта формула позволяет найти угол $β$, так как все величины в правой части ($a$, $b$, $δ$) известны. Мы можем геометрически построить отрезки, равные $b \sin(δ)$ и $a - b \cos(δ)$, а затем построить прямоугольный треугольник, у которого отношение катетов равно котангенсу искомого угла $β$.

После нахождения угла $β$ мы можем построить искомый треугольник, например, по стороне $a$, стороне $b$ и углу $β$, противолежащему стороне $b$ (задача типа "сторона-сторона-угол").

Ответ: План построения состоит в том, чтобы сначала построить угол $β$, используя выведенное соотношение, а затем построить сам треугольник по двум сторонам $a$, $b$ и найденному углу $β$.

Построение

1. Построение вспомогательных отрезков $b \cos(\delta)$ и $b \sin(\delta)$.
   • Строим произвольный луч и от его начала откладываем данный угол $δ$.
   • На одной из сторон угла откладываем отрезок $OK$, равный данной стороне $b$.
   • Из точки $K$ опускаем перпендикуляр $KM$ на вторую сторону угла.
   • В полученном прямоугольном треугольнике $OKM$ катет $OM$ равен $b \cos(\delta)$, а катет $KM$ равен $b \sin(\delta)$.
2. Построение угла $β$.
   • На прямой откладываем отрезок $P_1P_2$, равный $a$. Из точки $P_2$ в том же направлении откладываем отрезок $P_2P_3$, равный $OM = b \cos(\delta)$. Получаем отрезок $P_1P_3$ длиной $a - b \cos(\delta)$. (Это построение предполагает, что $a > b \cos(\delta)$).
   • Строим прямоугольный треугольник $XYZ$ с прямым углом при вершине $Y$.
   • Откладываем на одном катете отрезок $XY$, равный $KM = b \sin(\delta)$.
   • Откладываем на другом катете отрезок $YZ$, равный $P_1P_3 = a - b \cos(\delta)$.
   • Угол $∠XZY$ в построенном треугольнике будет искомым углом $β$, так как $\cot(∠XZY) = \frac{YZ}{XY} = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$.
3. Построение искомого треугольника $ABC$.
   • Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $B$.
   • От луча, исходящего из $B$, откладываем построенный угол $β$.
   • На стороне угла, не лежащей на исходной прямой, откладываем отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
   • Из точки $C$ проводим окружность с радиусом, равным данной стороне $b$.
   • Точка пересечения этой окружности с исходной прямой (лучом, образующим угол $β$ с $BC$) будет вершиной $A$.
   • Соединяем точки $A$, $B$, $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Выше описана последовательность шагов для построения треугольника с помощью циркуля и линейки.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению $BC = a$ и $AC = b$. Также по построению $∠B = β$, где угол $β$ был определен из условия $\cot(\beta) = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$.

Докажем, что разность углов $∠A$ и $∠B$ равна $δ$. Обозначим $∠A = \alpha'$.

Из построения угла $β$ следует, что:

$(a - b \cos(\delta)) \sin(\beta) = b \sin(\delta) \cos(\beta)$

$a \sin(\beta) = b \sin(\beta)\cos(\delta) + b \cos(\beta)\sin(\delta)$

$a \sin(\beta) = b \sin(\beta + \delta)$

$\frac{a}{\sin(\beta + \delta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

В то же время, для построенного треугольника $ABC$ по теореме синусов выполняется равенство:

$\frac{a}{\sin(\alpha')} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Сравнивая два полученных выражения, имеем:

$\sin(\alpha') = \sin(\beta + \delta)$

Это равенство возможно в двух случаях для углов треугольника:

1) $\alpha' = \beta + \delta$

2) $\alpha' = 180° - (\beta + \delta)$

В первом случае $\alpha' - \beta = \delta$, что и требовалось доказать. Наше построение приводит именно к этому решению.

Во втором случае $\alpha' + \beta = 180° - \delta$, а так как $\alpha' + \beta + \gamma = 180°$, то это означало бы, что $\gamma = \delta$. Это может соответствовать другому треугольнику, также удовлетворяющему теореме синусов, но наше построение было нацелено на первый случай.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны $a$ и $b$ и разность противолежащих им углов $δ$.

Ответ: Доказательство основано на том, что построенный угол $β$ удовлетворяет соотношению, выведенному из теоремы синусов для треугольника с требуемыми свойствами.

Исследование

Задача имеет решение не при любых исходных данных. Проанализируем шаги построения.

1. Для построения угла $β$ нам необходимо, чтобы катеты прямоугольного треугольника $XYZ$ имели действительную (положительную) длину. Длина катета $XY = b \sin(\delta)$ всегда положительна, если $δ$ — угол от $0$ до $180°$. Длина катета $YZ = a - b \cos(\delta)$ должна быть положительной. Это накладывает основное условие на существование решения:

$a - b \cos(\delta) > 0 \implies a > b \cos(\delta)$

Если $a \le b \cos(\delta)$, то построить угол $β$ (а значит и треугольник) невозможно.

2. На последнем шаге построения треугольника $ABC$ (по стороне $a=BC$, стороне $b=AC$ и углу $β=∠B$) окружность с центром в $C$ и радиусом $b$ должна пересечь луч $BA$. Это происходит, если $b$ не меньше высоты треугольника, опущенной из $C$ на прямую $BA$. Эта высота равна $h_c = a \sin(β)$. То есть, требуется $b \ge a \sin(β)$. Как мы показали в доказательстве, $a \sin(β) = b \sin(\alpha')$, поэтому условие принимает вид $b \ge b \sin(\alpha')$, или $1 \ge \sin(\alpha')$. Это неравенство всегда выполняется.

3. Уникальность решения. Построенный угол $β$ определяется однозначно, так как котангенс в интервале $(0, 180°)$ является монотонной функцией. При построении самого треугольника по двум сторонам и углу, не лежащему между ними (SSA), возможно от 0 до 2 решений. Однако, поскольку мы ищем треугольник, где $\alpha - \beta = \delta$, это дополнительное условие (при условии $a>b$) обычно отбирает одно из возможных решений. В общем случае, как показано в доказательстве, может существовать и второй треугольник (где $\gamma = \delta$), но он не будет результатом нашего прямого построения.

Таким образом, задача имеет единственное решение (в рамках нашего метода построения) при выполнении условия $a > b \cos(\delta)$ (при $a>b$). Если $a \le b \cos(\delta)$, решений нет. Если $b>a$, условие симметрично: $b > a \cos(\delta)$.

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда большая из двух данных сторон больше, чем произведение меньшей стороны на косинус данной разности углов. Если это условие выполнено, решение единственно в рамках описанного метода.

Рис. 1.88

1.123. Через данную внутри угла точку $A$ проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный между сторонами угла, делился в точке $A$ в отношении $2 : 1$.

Пусть дан угол с вершиной в точке O и сторонами, являющимися лучами, и точка A внутри этого угла. Требуется построить прямую, проходящую через точку A, которая пересекает стороны угла в точках B и C так, чтобы отрезок BC делился точкой A в отношении 2:1. Это означает, что может выполняться одно из двух условий: $BA : AC = 2:1$ или $AC : BA = 2:1$. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

В этом случае искомая прямая пересекает стороны угла в точках B и C таким образом, что отрезок от точки B до точки A в два раза длиннее отрезка от точки A до точки C.

Анализ и метод построения. Пусть стороны угла — это лучи $l_1$ и $l_2$. Пусть точка B лежит на $l_1$, а точка C — на $l_2$. Проведем через точку A прямую, параллельную стороне $l_1$. Пусть эта прямая пересечет сторону $l_2$ в точке D. Рассмотрим угол с вершиной O. Прямые OB (часть $l_1$) и DA параллельны по построению. Согласно обобщенной теореме Фалеса, параллельные прямые отсекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки. Для прямых OC ($l_2$) и BC это означает, что выполняется соотношение: $ \frac{CD}{DO} = \frac{CA}{AB} $ По условию этого случая, $BA : AC = 2:1$, что эквивалентно $CA/AB = 1/2$. Следовательно, $CD/DO = 1/2$, или $DO = 2 \cdot CD$. Геометрически это означает, что точка C является серединой отрезка OD.

Построение. 1. Через данную точку A проводим прямую, параллельную одной из сторон угла (назовем ее $l_1$). 2. Отмечаем точку D, в которой построенная прямая пересекает другую сторону угла ($l_2$). 3. С помощью циркуля и линейки находим середину C отрезка OD. 4. Проводим прямую через точки A и C. Эта прямая пересечет сторону $l_1$ в некоторой точке B. Прямая BC является искомой.

Доказательство. По построению, прямая AD параллельна стороне OB (лучу $l_1$). По теореме Фалеса для угла COB и секущих OC и BC, имеем $CA/AB = CD/DO$. Так как по построению точка C является серединой отрезка OD, то $CD = \frac{1}{2} DO$. Подставляя это в пропорцию, получаем $CA/AB = 1/2$, откуда $BA/AC = 2/1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить прямую, для которой отрезок от точки B на одной стороне угла до точки A вдвое длиннее отрезка от A до точки C на другой стороне, нужно провести через A прямую, параллельную стороне с точкой B, до пересечения с другой стороной в точке D, найти середину C отрезка OD и провести искомую прямую через точки A и C.

Этот случай симметричен предыдущему. Теперь искомая прямая пересекает стороны угла в точках B и C так, что отрезок от точки A до точки C в два раза длиннее отрезка от точки B до A.

Анализ и метод построения. Действуем аналогично, но теперь строим прямую через A, параллельную другой стороне угла, $l_2$. Пусть она пересечет сторону $l_1$ в точке E. По теореме Фалеса для угла BOC и секущих OB и CB: $ \frac{BE}{EO} = \frac{BA}{AC} $ По условию $AC:BA = 2:1$, то есть $BA/AC = 1/2$. Значит, $BE/EO = 1/2$, или $EO = 2 \cdot BE$. Это означает, что точка B должна быть серединой отрезка OE.

Построение. 1. Через данную точку A проводим прямую, параллельную стороне $l_2$. 2. Отмечаем точку E, в которой эта прямая пересекает сторону $l_1$. 3. Находим середину B отрезка OE. 4. Проводим прямую через точки A и B. Она пересечет сторону $l_2$ в некоторой точке C. Прямая BC является второй искомой прямой.

Доказательство. По построению, прямая AE параллельна стороне OC (лучу $l_2$). По теореме Фалеса для угла EOC и секущих OB и CB, имеем $BA/AC = BE/EO$. Так как по построению точка B является серединой отрезка OE, то $BE = \frac{1}{2} EO$. Подставляя это в пропорцию, получаем $BA/AC = 1/2$, откуда $AC/BA = 2/1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить прямую, для которой отрезок от точки A до точки C на одной стороне вдвое длиннее отрезка от точки B на другой стороне до A, нужно провести через A прямую, параллельную стороне с точкой C, до пересечения со стороной с точкой B в точке E, найти середину B отрезка OE и провести искомую прямую через точки A и B.