Номер 1.122, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.122. Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC = a$, $AC = b$ — данные стороны, и пусть $∠A = \alpha$, $∠B = \beta$ — противолежащие им углы. Дана разность этих углов $δ = |\alpha - \beta|$.

Для определенности предположим, что $a > b$. Тогда по свойству треугольника, напротив большей стороны лежит больший угол, то есть $\alpha > \beta$. Таким образом, $α - \beta = δ$, откуда $α = \beta + δ$.

Применим к треугольнику $ABC$ теорему синусов:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Подставим выражение для $α$:

$\frac{a}{\sin(\beta + \delta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Раскроем пропорцию и используем формулу синуса суммы:

$a \sin(\beta) = b \sin(\beta + \delta)$

$a \sin(\beta) = b (\sin(\beta)\cos(\delta) + \cos(\beta)\sin(\delta))$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $\beta$:

$a \sin(\beta) - b \sin(\beta)\cos(\delta) = b \cos(\beta)\sin(\delta)$

$(a - b \cos(\delta)) \sin(\beta) = b \sin(\delta) \cos(\beta)$

Предполагая, что $\sin(\beta) \neq 0$ и $b \sin(\delta) \neq 0$ (что верно для невырожденного треугольника и $δ \neq 0, 180°$), разделим обе части на $\sin(\beta)$ и на $b \sin(\delta)$:

$\frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$

$\cot(\beta) = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$

Эта формула позволяет найти угол $β$, так как все величины в правой части ($a$, $b$, $δ$) известны. Мы можем геометрически построить отрезки, равные $b \sin(δ)$ и $a - b \cos(δ)$, а затем построить прямоугольный треугольник, у которого отношение катетов равно котангенсу искомого угла $β$.

После нахождения угла $β$ мы можем построить искомый треугольник, например, по стороне $a$, стороне $b$ и углу $β$, противолежащему стороне $b$ (задача типа "сторона-сторона-угол").

Ответ: План построения состоит в том, чтобы сначала построить угол $β$, используя выведенное соотношение, а затем построить сам треугольник по двум сторонам $a$, $b$ и найденному углу $β$.

Построение

1. Построение вспомогательных отрезков $b \cos(\delta)$ и $b \sin(\delta)$.
   • Строим произвольный луч и от его начала откладываем данный угол $δ$.
   • На одной из сторон угла откладываем отрезок $OK$, равный данной стороне $b$.
   • Из точки $K$ опускаем перпендикуляр $KM$ на вторую сторону угла.
   • В полученном прямоугольном треугольнике $OKM$ катет $OM$ равен $b \cos(\delta)$, а катет $KM$ равен $b \sin(\delta)$.
2. Построение угла $β$.
   • На прямой откладываем отрезок $P_1P_2$, равный $a$. Из точки $P_2$ в том же направлении откладываем отрезок $P_2P_3$, равный $OM = b \cos(\delta)$. Получаем отрезок $P_1P_3$ длиной $a - b \cos(\delta)$. (Это построение предполагает, что $a > b \cos(\delta)$).
   • Строим прямоугольный треугольник $XYZ$ с прямым углом при вершине $Y$.
   • Откладываем на одном катете отрезок $XY$, равный $KM = b \sin(\delta)$.
   • Откладываем на другом катете отрезок $YZ$, равный $P_1P_3 = a - b \cos(\delta)$.
   • Угол $∠XZY$ в построенном треугольнике будет искомым углом $β$, так как $\cot(∠XZY) = \frac{YZ}{XY} = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$.
3. Построение искомого треугольника $ABC$.
   • Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $B$.
   • От луча, исходящего из $B$, откладываем построенный угол $β$.
   • На стороне угла, не лежащей на исходной прямой, откладываем отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
   • Из точки $C$ проводим окружность с радиусом, равным данной стороне $b$.
   • Точка пересечения этой окружности с исходной прямой (лучом, образующим угол $β$ с $BC$) будет вершиной $A$.
   • Соединяем точки $A$, $B$, $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Выше описана последовательность шагов для построения треугольника с помощью циркуля и линейки.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению $BC = a$ и $AC = b$. Также по построению $∠B = β$, где угол $β$ был определен из условия $\cot(\beta) = \frac{a - b \cos(\delta)}{b \sin(\delta)}$.

Докажем, что разность углов $∠A$ и $∠B$ равна $δ$. Обозначим $∠A = \alpha'$.

Из построения угла $β$ следует, что:

$(a - b \cos(\delta)) \sin(\beta) = b \sin(\delta) \cos(\beta)$

$a \sin(\beta) = b \sin(\beta)\cos(\delta) + b \cos(\beta)\sin(\delta)$

$a \sin(\beta) = b \sin(\beta + \delta)$

$\frac{a}{\sin(\beta + \delta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

В то же время, для построенного треугольника $ABC$ по теореме синусов выполняется равенство:

$\frac{a}{\sin(\alpha')} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Сравнивая два полученных выражения, имеем:

$\sin(\alpha') = \sin(\beta + \delta)$

Это равенство возможно в двух случаях для углов треугольника:

1) $\alpha' = \beta + \delta$

2) $\alpha' = 180° - (\beta + \delta)$

В первом случае $\alpha' - \beta = \delta$, что и требовалось доказать. Наше построение приводит именно к этому решению.

Во втором случае $\alpha' + \beta = 180° - \delta$, а так как $\alpha' + \beta + \gamma = 180°$, то это означало бы, что $\gamma = \delta$. Это может соответствовать другому треугольнику, также удовлетворяющему теореме синусов, но наше построение было нацелено на первый случай.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны $a$ и $b$ и разность противолежащих им углов $δ$.

Ответ: Доказательство основано на том, что построенный угол $β$ удовлетворяет соотношению, выведенному из теоремы синусов для треугольника с требуемыми свойствами.

Исследование

Задача имеет решение не при любых исходных данных. Проанализируем шаги построения.

1. Для построения угла $β$ нам необходимо, чтобы катеты прямоугольного треугольника $XYZ$ имели действительную (положительную) длину. Длина катета $XY = b \sin(\delta)$ всегда положительна, если $δ$ — угол от $0$ до $180°$. Длина катета $YZ = a - b \cos(\delta)$ должна быть положительной. Это накладывает основное условие на существование решения:

$a - b \cos(\delta) > 0 \implies a > b \cos(\delta)$

Если $a \le b \cos(\delta)$, то построить угол $β$ (а значит и треугольник) невозможно.

2. На последнем шаге построения треугольника $ABC$ (по стороне $a=BC$, стороне $b=AC$ и углу $β=∠B$) окружность с центром в $C$ и радиусом $b$ должна пересечь луч $BA$. Это происходит, если $b$ не меньше высоты треугольника, опущенной из $C$ на прямую $BA$. Эта высота равна $h_c = a \sin(β)$. То есть, требуется $b \ge a \sin(β)$. Как мы показали в доказательстве, $a \sin(β) = b \sin(\alpha')$, поэтому условие принимает вид $b \ge b \sin(\alpha')$, или $1 \ge \sin(\alpha')$. Это неравенство всегда выполняется.

3. Уникальность решения. Построенный угол $β$ определяется однозначно, так как котангенс в интервале $(0, 180°)$ является монотонной функцией. При построении самого треугольника по двум сторонам и углу, не лежащему между ними (SSA), возможно от 0 до 2 решений. Однако, поскольку мы ищем треугольник, где $\alpha - \beta = \delta$, это дополнительное условие (при условии $a>b$) обычно отбирает одно из возможных решений. В общем случае, как показано в доказательстве, может существовать и второй треугольник (где $\gamma = \delta$), но он не будет результатом нашего прямого построения.

Таким образом, задача имеет единственное решение (в рамках нашего метода построения) при выполнении условия $a > b \cos(\delta)$ (при $a>b$). Если $a \le b \cos(\delta)$, решений нет. Если $b>a$, условие симметрично: $b > a \cos(\delta)$.

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда большая из двух данных сторон больше, чем произведение меньшей стороны на косинус данной разности углов. Если это условие выполнено, решение единственно в рамках описанного метода.