Номер 1.115, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.115. Докажите, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $2 : 1$, считая от вершины.

1. Доказательство того, что любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем две медианы, $AA_1$ и $BB_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$, а $B_1$ — середина стороны $AC$. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольники $AOB$ и $A_1OB_1$. Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A_1OB_1$, так как они вертикальные. Поскольку $AB \parallel A_1B_1$, то накрест лежащие углы при секущей $AA_1$ равны: $\angle BAA_1 = \angle AA_1B_1$, то есть $\angle OAB = \angle OA_1B_1$. Аналогично, накрест лежащие углы при секущей $BB_1$ равны: $\angle ABB_1 = \angle BB_1A_1$, то есть $\angle OBA = \angle OB_1A_1$.

Таким образом, треугольник $AOB$ подобен треугольнику $A_1OB_1$ по двум углам (первый признак подобия). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1}$

Так как из свойства средней линии мы знаем, что $\frac{AB}{A_1B_1} = 2$, то и отношения других сторон также равны 2:

$\frac{AO}{A_1O} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{BO}{B_1O} = 2$

Это доказывает, что точка пересечения $O$ двух произвольно взятых медиан $AA_1$ и $BB_1$ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Доказательство того, что все три медианы пересекаются в одной точке.

Из первого пункта мы установили, что точка $O$ пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AO:A_1O = 2:1$.

Теперь рассмотрим третью медиану $CC_1$ (где $C_1$ — середина стороны $AB$) и одну из предыдущих, например $AA_1$. Пусть они пересекаются в некоторой точке $O'$.

Проводя полностью аналогичные рассуждения, как в первом пункте, для медиан $AA_1$ и $CC_1$ и средней линии $A_1C_1$ (которая параллельна $AC$ и равна ее половине), мы докажем, что точка их пересечения $O'$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AO':A_1O' = 2:1$.

Таким образом, и точка $O$ (пересечение $AA_1$ и $BB_1$), и точка $O'$ (пересечение $AA_1$ и $CC_1$) делят один и тот же отрезок $AA_1$ в одном и том же отношении 2:1, считая от вершины $A$. Поскольку на отрезке существует только одна точка, которая делит его в заданном отношении, то точки $O$ и $O'$ должны совпадать: $O \equiv O'$.

Это означает, что третья медиана $CC_1$ также проходит через точку $O$. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной и той же точке $O$. Поскольку точка $O$ делит медианы $AA_1$ и $BB_1$ в отношении 2:1, то же самое будет верно и для медианы $CC_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.