Номер 1.112, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.112. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба, и наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Четырехугольник, образованный этими точками, — это $KLMN$. Чтобы доказать, что $KLMN$ является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны, то есть $KL = LM = MN = NK$.

Рассмотрим четыре прямоугольных треугольника, образовавшихся в углах прямоугольника: $\triangle NAK$, $\triangle KBL$, $\triangle LCM$ и $\triangle MDN$. Так как $K, L, M, N$ — середины сторон, то: $AK = KB = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$ $BL = LC = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$ $CM = MD = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$ $DN = NA = \frac{1}{2} DA = \frac{b}{2}$

Найдем длины сторон четырехугольника $KLMN$ по теореме Пифагора, так как они являются гипотенузами указанных треугольников. В $\triangle NAK$: $NK^2 = NA^2 + AK^2 = (\frac{b}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2$. В $\triangle KBL$: $KL^2 = KB^2 + BL^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2$. В $\triangle LCM$: $LM^2 = LC^2 + CM^2 = (\frac{b}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2$. В $\triangle MDN$: $MN^2 = MD^2 + DN^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2$.

Так как правые части всех равенств одинаковы, то и левые части равны: $NK^2 = KL^2 = LM^2 = MN^2$. Следовательно, $NK = KL = LM = MN = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2}$. Поскольку все стороны четырехугольника $KLMN$ равны, он является ромбом.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Пусть дан ромб $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Четырехугольник, образованный этими точками, — это $KLMN$. Чтобы доказать, что $KLMN$ является прямоугольником, нужно показать, что все его углы прямые.

Воспользуемся свойством средней линии треугольника. В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $KL$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$. В треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $NM$ является средней линией. Следовательно, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC$. Таким образом, $KL \parallel NM$ и $KL = NM$, что доказывает, что $KLMN$ — параллелограмм.

Аналогично, в треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, поэтому $KN \parallel BD$. В треугольнике $\triangle BCD$ отрезок $LM$ является средней линией, поэтому $LM \parallel BD$.

Итак, мы имеем: $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$. Поскольку стороны четырехугольника $KLMN$ попарно параллельны диагоналям ромба ($KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$), а диагонали перпендикулярны, то и смежные стороны четырехугольника $KLMN$ также перпендикулярны. То есть $KL \perp KN$, а значит, угол $\angle NKL = 90^\circ$.

Так как $KLMN$ — параллелограмм, у которого один из углов прямой, то все его углы прямые. Следовательно, $KLMN$ является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано.