Номер 1.109, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.109. Дано: ABCD – четырехугольник, AC = 8 дм, BD = 3 дм. Точки E, F, K, L – середины сторон четырехугольника. (рис. 1.56)

Найти периметр EFKL.

EF – средняя линия $\triangle ABC$: $EF = \frac{1}{2}AC = 4$ дм. LK – средняя линия $\triangle ADC$: $LK = \frac{1}{2}AC = 4$ дм. Аналогично EL и FK являются средними линиями $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ соответственно. Поэтому $EL = FK = \frac{1}{2}BD = 1,5$ дм. Тогда

$P_{EFKL} = EF + FK + KL + LE = 4 + 1,5 + 4 + 1,5 = 11$ дм.

Ответ: 11 дм.

Рис. 1.56

Решение:
Согласно условию, точки $E, F, K, L$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, AD$ четырехугольника $ABCD$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$, то отрезок $EF$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины основания $AC$.
$EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ дм.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $LK$ является средней линией, поскольку соединяет середины сторон $AD$ и $CD$.
$LK = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ дм.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $EL$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$, следовательно, является средней линией $\triangle ABD$. Его основанием служит диагональ $BD$.
$EL = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ дм.

Аналогично, в треугольнике $BCD$ отрезок $FK$ является средней линией, соединяющей середины сторон $BC$ и $CD$.
$FK = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ дм.

Периметр четырехугольника $EFKL$ — это сумма длин всех его сторон:
$P_{EFKL} = EF + FK + KL + LE$
Подставим найденные значения:
$P_{EFKL} = 4 + 1,5 + 4 + 1,5 = 11$ дм.

Ответ: 11 дм.