Номер 1.104, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.104. Разделите данный отрезок:

1) на четыре равные части;

2) на пять равных частей.

Для решения этой задачи, которая является классической задачей на построение, используются циркуль и линейка без делений. Общий метод, подходящий для деления отрезка на любое количество равных частей, основан на теореме Фалеса. Также для деления на число частей, равное степени двойки (например, на 4), можно использовать более простой метод последовательного деления отрезка пополам.

1) на четыре равные части

Пусть дан отрезок $AB$. Разделить его на четыре равные части можно двумя основными способами.

Способ 1: Метод последовательного деления пополам

Этот метод является наиболее простым для деления на 2, 4, 8 и т.д. частей.

1. Построим середину отрезка $AB$. Для этого нужно построить серединный перпендикуляр:
   • Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности с одинаковым радиусом $R$, который должен быть больше половины длины отрезка $AB$.
   • Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую.
2. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ и есть его середина. Обозначим ее $M$. Теперь отрезок $AB$ разделен на две равные части: $AM = MB$.
3. Теперь повторим процедуру для каждого из полученных отрезков. Найдем середину отрезка $AM$ тем же способом и обозначим ее $M_1$.
4. Аналогично найдем середину отрезка $MB$ и обозначим ее $M_2$.
5. В результате точки $M_1$, $M$ и $M_2$ разделят исходный отрезок $AB$ на четыре равные части: $AM_1 = M_1M = MM_2 = M_2B$.

Способ 2: Использование теоремы Фалеса

Этот метод является универсальным и подходит для деления на любое целое число частей.

1. Из конца отрезка, например, из точки $A$, проведем произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. На луче $l$ от точки $A$ отложим с помощью циркуля четыре равных отрезка произвольной длины. Получим точки $C_1, C_2, C_3, C_4$ так, что $AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4$.
3. Соединим точку $C_4$ с другим концом исходного отрезка, точкой $B$.
4. Через точки $C_1, C_2, C_3$ проведем прямые, параллельные отрезку $C_4B$. Эти прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $D_1, D_2, D_3$ соответственно.
5. Согласно теореме Фалеса, так как параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки ($AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4$), то они отсекут равные отрезки и на другой стороне угла ($AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3B$).

Ответ: Отрезок разделен на четыре равные части путем построения трех точек, которые делят его на четыре равных сегмента.

2) на пять равных частей

Для деления отрезка на 5 равных частей метод последовательного деления пополам не подходит, так как 5 не является степенью двойки. Поэтому необходимо использовать метод, основанный на теореме Фалеса.

Пусть дан отрезок $AB$.

1. Из точки $A$ проведем произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На этом луче с помощью циркуля отложим от точки $A$ пять одинаковых отрезков любой удобной длины. Получим последовательность точек $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ таких, что $AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4 = C_4C_5$.
3. Соединим последнюю точку $C_5$ с точкой $B$ отрезком прямой.
4. Теперь через точки $C_1, C_2, C_3, C_4$ проведем прямые, параллельные отрезку $C_5B$. (Для построения параллельных прямых можно, например, скопировать угол $\angle AC_5B$ в вершины $C_4, C_3, C_2, C_1$ с помощью циркуля и линейки).
5. Эти прямые пересекут исходный отрезок $AB$ в точках $D_1, D_2, D_3, D_4$.
6. По теореме Фалеса, отрезки, на которые точки $D_1, D_2, D_3, D_4$ разделили отрезок $AB$, будут равны между собой. То есть, $AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3D_4 = D_4B$.

Ответ: Отрезок разделен на пять равных частей путем построения четырех точек, которые делят его на пять равных сегментов.