Номер 1.98, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.98. Через внутреннюю точку $D$ угла $ABC$ проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый сторонами угла, в точке $D$ делился пополам.

Для решения этой задачи на построение, разобьем его на три этапа: анализ, построение и доказательство.

Анализ

Предположим, что искомая прямая построена. Пусть она проходит через точку $D$ и пересекает стороны угла, лучи $BA$ и $BC$, в точках $M$ и $N$ соответственно. По условию задачи, точка $D$ является серединой отрезка $MN$, то есть $MD = DN$.

Проведем через точку $D$ вспомогательную прямую, параллельную стороне $BC$. Пусть эта прямая пересекает сторону $BA$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольник $MBN$. В этом треугольнике отрезок $FD$ соединяет точку $F$ на стороне $MB$ и точку $D$ на стороне $MN$. По нашему построению, прямая $FD$ параллельна стороне $BN$ треугольника. Поскольку $D$ является серединой стороны $MN$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), прямая $FD$ должна пересекать сторону $MB$ в ее середине. Следовательно, точка $F$ является серединой отрезка $MB$.

Это означает, что длина отрезка $BM$ в два раза больше длины отрезка $BF$, то есть $BM = 2 \cdot BF$.

Данный вывод позволяет нам разработать алгоритм построения. Мы можем сначала найти точку $F$, затем, используя ее, найти точку $M$, и, наконец, провести искомую прямую через точки $M$ и $D$.

Построение

На основе проведенного анализа, выполним следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки:

1. Через данную точку $D$ проведем прямую, параллельную лучу $BC$. Отметим точку $F$ на пересечении этой прямой с лучом $BA$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $BF$.
3. На луче $BA$ отложим от точки $F$ отрезок $FM$, равный по длине отрезку $BF$, так, чтобы точка $F$ оказалась между точками $B$ и $M$. В результате точка $M$ будет такой, что $F$ — середина отрезка $BM$.
4. Проведем прямую через точку $M$ и данную точку $D$.

Полученная прямая $MD$ является искомой.

Доказательство

Пусть построенная по вышеописанному алгоритму прямая $MD$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Необходимо доказать, что точка $D$ является серединой отрезка $MN$.

Рассмотрим треугольник $MBN$.

По построению (шаг 3), точка $F$ является серединой стороны $MB$.

По построению (шаг 1), прямая, содержащая отрезок $FD$, параллельна прямой $BC$, а значит, и стороне $BN$ треугольника $MBN$.

Согласно теореме о средней линии треугольника, если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно второй стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине.

Следовательно, прямая $FD$ пересекает сторону $MN$ в ее середине. Поскольку точка $D$ принадлежит как прямой $FD$, так и прямой $MN$, она и является точкой их пересечения.

Таким образом, $D$ — середина отрезка $MN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Для построения искомой прямой необходимо выполнить следующие действия: 1. Через точку $D$ провести прямую, параллельную одной из сторон угла (например, $BC$), до пересечения с другой стороной ($BA$) в точке, которую назовем $F$. 2. На стороне $BA$ найти такую точку $M$, чтобы точка $F$ являлась серединой отрезка $BM$ (то есть отложить отрезок $FM$, равный $BF$, в направлении от точки $B$). 3. Провести прямую через полученную точку $M$ и данную точку $D$. Эта прямая и будет искомой.