Номер 1.101, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.101. Даны две параллельные прямые и две точки, расположенные между ними. Постройте ромб так, чтобы две его стороны лежали на двух данных прямых, а другие две стороны проходили через две данные точки.

Задача состоит в построении ромба по двум параллельным прямым, на которых лежат две его стороны, и двум точкам, через которые проходят две другие стороны.

Пусть даны параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ и точки $M$ и $N$ между ними. Требуется построить ромб $ABCD$ так, чтобы вершины $A, B$ лежали на $l_1$, вершины $C, D$ — на $l_2$, а стороны $AD$ и $BC$ проходили через точки $M$ и $N$ соответственно (или наоборот).

Решение задачи основано на методе геометрических преобразований, в частности, на использовании центральной симметрии.

Анализ

1. Пусть искомый ромб $ABCD$ построен. Стороны $AB$ и $CD$ лежат на прямых $l_1$ и $l_2$. Сторона $AD$ проходит через точку $M$, а сторона $BC$ — через точку $N$.

2. Ромб является центрально-симметричной фигурой. Центр симметрии ромба, обозначим его $O$, является точкой пересечения его диагоналей. Так как стороны $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$, центр $O$ должен быть равноудален от этих прямых, а значит, он лежит на средней линии $l_m$ этих прямых.

3. При центральной симметрии с центром $O$ вершина $A$ переходит в $C$, $B$ в $D$, а прямая $l_1$ переходит в $l_2$. Сторона $AD$ переходит в сторону $CB$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AD$, ее образ $M'$ при этой симметрии должен лежать на образе стороны $AD$, то есть на стороне $CB$.

4. Таким образом, на стороне $CB$ лежат две точки: данная точка $N$ и построенная точка $M'$. В общем случае эти точки не совпадают.

5. Рассмотрим другой случай: пусть сторона $AD$ проходит через $M$, а сторона $BC$ — через $N$. При симметрии относительно центра ромба $O$, точка $N \in BC$ перейдет в точку $N' \in AD$. Таким образом, на прямой, содержащей сторону $AD$, лежат две известные точки: $M$ и $N'$. Значит, прямую $AD$ можно построить как прямую, проходящую через $M$ и $N'$.

6. Ключевое свойство ромба: его диагонали являются биссектрисами его углов. Рассмотрим диагональ $AC$. Она проходит через центр $O$ и является биссектрисой угла $\angle DAB$.

7. Свойство биссектрисы угла состоит в том, что любая ее точка равноудалена от сторон угла. Так как $O$ лежит на биссектрисе $AC$, то расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно расстоянию от $O$ до прямой $AB$.

8. Расстояние от точки $O$ (лежащей на средней линии $l_m$) до прямой $AB$ (которая совпадает с $l_1$) равно половине расстояния между $l_1$ и $l_2$. Обозначим расстояние между $l_1$ и $l_2$ как $h$. Тогда $d(O, AB) = h/2$.

9. Таким образом, мы приходим к основному условию для построения: центр ромба $O$ должен лежать на средней линии $l_m$, и при этом расстояние от $O$ до прямой $AD$ (то есть до прямой $MN'$) должно быть равно $h/2$.

10. Точка $N'$ является образом точки $N$ при симметрии относительно $O$. Если точка $O$ движется по средней линии $l_m$, то ее образ $N'$ будет двигаться по прямой $l_N'$, которая симметрична прямой, проходящей через $N$ параллельно $l_1$ и $l_2$, относительно средней линии $l_m$.

11. Расстояние от точки $O$ до прямой $MN'$ связано с высотой треугольника $\triangle MNN'$, опущенной из вершины $N$. Так как $O$ является серединой отрезка $NN'$, то расстояние от $O$ до прямой $MN'$ равно половине высоты треугольника $\triangle MNN'$, опущенной из $N$ на сторону $MN'$. Обозначим эту высоту $h_N$. Итак, $d(O, MN') = h_N / 2$.

12. Совмещая условия из п.9 и п.11, получаем: $h_N / 2 = h / 2$, откуда $h_N = h$. Это означает, что расстояние от точки $N$ до прямой $MN'$ должно быть равно расстоянию $h$ между данными прямыми.

13. Геометрическая задача свелась к следующей: даны точки $M, N$ и прямая $l_N'$. Найти на прямой $l_N'$ такую точку $N'$, чтобы расстояние от точки $N$ до прямой, проходящей через $M$ и $N'$, было равно $h$.

14. Расстояние от $N$ до прямой $MN'$ выражается через синус угла $\angle M N' N$ или $\angle N M N'$. Проще использовать угол при вершине $M$: $d(N, MN') = |MN| \cdot |\sin(\angle(MN, MN'))|$. Отсюда $|\sin(\angle(MN, MN'))| = h / |MN|$. Это соотношение позволяет найти искомый угол $\alpha = \angle(MN, MN')$, а значит, и направление прямой $MN'$.

Построение

Предположим, что сторона $AD$ проходит через $M$, а $BC$ через $N$.

1. Построим среднюю линию $l_m$ прямых $l_1$ и $l_2$. Для этого можно провести любой перпендикуляр к $l_1$ и $l_2$, найти его точки пересечения с прямыми и построить середину полученного отрезка. Через эту середину провести прямую, параллельную $l_1$.
2. Измерим расстояние $h$ между прямыми $l_1$ и $l_2$.
3. Построим прямую $l_N'$, симметричную прямой, проходящей через $N$ и параллельной $l_1$, относительно средней линии $l_m$.
4. Построим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной длине отрезка $MN$, и катетом, равным $h$. Это возможно, если $h \le |MN|$. Угол $\alpha$, лежащий напротив катета $h$, будет искомым углом.
5. Через точку $M$ проведем две прямые $k_1$ и $k_2$, которые образуют с прямой $MN$ угол, равный $\alpha$ (по одну и по другую сторону от $MN$).
6. Найдем точки пересечения $N'_1 = k_1 \cap l_N'$ и $N'_2 = k_2 \cap l_N'$. Каждая из этих точек (если они существуют) определяет одно решение.
7. Рассмотрим одно из решений, например, для точки $N'_1$:
   1. Проведем прямую через точки $M$ и $N'_1$. Это будет прямая, содержащая сторону $AD$. Найдем точки $A = (MN'_1) \cap l_1$ и $D = (MN'_1) \cap l_2$.
   2. Найдем центр ромба $O$ как середину отрезка $NN'_1$.
   3. Построим остальные вершины: $B$ как точку, симметричную $D$ относительно $O$, и $C$ как точку, симметричную $A$ относительно $O$.
8. Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Аналогичное построение выполняется для случая, когда сторона $AD$ проходит через $N$, а $BC$ через $M$ (для этого достаточно поменять местами $M$ и $N$ в шагах 3-7).

Ответ: Алгоритм построения описан выше. В зависимости от взаимного расположения точек и прямых, задача может иметь от 0 до 4 решений.