Номер 1.105, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.105. Разделите данный отрезок на две части так, чтобы они относились как:

1) $1 : 2$ (рис. 1.54);

2) $2 : 3$.

Рис. 1.54

Для решения этой задачи используется теорема Фалеса о пропорциональных отрезках. Общий метод заключается в построении вспомогательного луча, на котором откладываются равные отрезки в количестве, равном сумме членов отношения, и проведении параллельных прямых.

1)

Чтобы разделить данный отрезок AB на две части в отношении 1:2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Из точки A данного отрезка AB провести произвольный луч AK, не лежащий на прямой AB.
2. На луче AK отложить от точки A последовательно $1 + 2 = 3$ равных между собой отрезка произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков точками $P_1$, $P_2$, $P_3$. Таким образом, мы получим $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
3. Соединить точку $P_3$ (конец последнего отрезка) с точкой B.
4. Через точку $P_1$ (соответствующую первому числу в отношении 1:2) провести прямую, параллельную отрезку $P_3B$. Эта прямая пересечет отрезок AB в некоторой точке C.

Полученная точка C является искомой точкой, которая делит отрезок AB в отношении 1:2.

Доказательство: Рассмотрим $\triangle AP_3B$. Прямая $CP_1$ параллельна стороне $P_3B$ (по построению) и пересекает две другие стороны треугольника $AB$ и $AP_3$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса) имеем:

$\frac{AC}{CB} = \frac{AP_1}{P_1P_3}$

По построению, отрезок $AP_1$ равен одному единичному отрезку, а отрезок $P_1P_3$ состоит из двух таких же единичных отрезков ($P_1P_3 = P_1P_2 + P_2P_3$). Следовательно, их отношение равно:

$\frac{AP_1}{P_1P_3} = \frac{1}{2}$

Таким образом, $\frac{AC}{CB} = \frac{1}{2}$, то есть $AC:CB = 1:2$. Точка C делит отрезок AB в заданном отношении.

Ответ: Искомая точка C, построенная указанным методом, делит отрезок AB в отношении $AC:CB = 1:2$.

2)

Чтобы разделить данный отрезок AB на две части в отношении 2:3, нужно выполнить аналогичные действия:

1. Из точки A данного отрезка AB провести произвольный луч AK, не лежащий на прямой AB.
2. На луче AK отложить от точки A последовательно $2 + 3 = 5$ равных между собой отрезков. Обозначим концы этих отрезков точками $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$. Таким образом, $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = P_4P_5$.
3. Соединить точку $P_5$ (конец последнего отрезка) с точкой B.
4. Через точку $P_2$ (соответствующую первому числу в отношении 2:3) провести прямую, параллельную отрезку $P_5B$. Эта прямая пересечет отрезок AB в некоторой точке D.

Полученная точка D является искомой точкой, которая делит отрезок AB в отношении 2:3.

Доказательство: Рассмотрим $\triangle AP_5B$. Прямая $DP_2$ параллельна стороне $P_5B$ (по построению) и пересекает две другие стороны треугольника $AB$ и $AP_5$. По теореме о пропорциональных отрезках:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AP_2}{P_2P_5}$

По построению, отрезок $AP_2$ состоит из двух единичных отрезков ($AP_2 = AP_1 + P_1P_2$), а отрезок $P_2P_5$ состоит из трех таких же единичных отрезков ($P_2P_5 = P_2P_3 + P_3P_4 + P_4P_5$). Следовательно, их отношение равно:

$\frac{AP_2}{P_2P_5} = \frac{2}{3}$

Таким образом, $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$, то есть $AD:DB = 2:3$. Точка D делит отрезок AB в заданном отношении.

Ответ: Искомая точка D, построенная указанным методом, делит отрезок AB в отношении $AD:DB = 2:3$.