Номер 1.96, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.96. Постройте ромб:

1) по углу и диагонали (рис. 1.47);

2) по диагонали и высоте.

Рис. 1.47

1) Построение ромба по углу и диагонали

Анализ. Пусть дан угол $ \alpha $ и диагональ $d$. Из рисунка 1.47 видно, что $ \alpha $ — это угол между диагональю и стороной ромба, а $d$ — длина этой диагонали. Пусть искомый ромб — $ABCD$, данная диагональ — $AC = d$, и данный угол — $ \angle BAC = \alpha $. В ромбе все стороны равны, поэтому треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ и сторонами $AB=BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $ \angle BCA = \angle BAC = \alpha $. Аналогично, для треугольника $ADC$ стороны $AD=CD$, а диагональ $AC$ является биссектрисой углов $ \angle BAD $ и $ \angle BCD $, поэтому $ \angle DAC = \angle DCA = \alpha $. Таким образом, задача сводится к построению двух равнобедренных треугольников $ABC$ и $ADC$ по общему основанию $AC$ и равным углам при основании $ \alpha $.

Построение:

1. Провести прямую и отложить на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$.
2. От луча $AC$ в одну полуплоскость отложить угол $ \angle CAM $, равный данному углу $ \alpha $.
3. От луча $CA$ в ту же полуплоскость отложить угол $ \angle ACN $, равный данному углу $ \alpha $.
4. Точку пересечения лучей $AM$ и $CN$ обозначить $B$.
5. От луча $AC$ в другую полуплоскость отложить угол $ \angle CAP $, равный данному углу $ \alpha $.
6. От луча $CA$ в ту же полуплоскость (где и луч $AP$) отложить угол $ \angle ACQ $, равный данному углу $ \alpha $.
7. Точку пересечения лучей $AP$ и $CQ$ обозначить $D$.
8. Соединить точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство. В треугольнике $ABC$ по построению $ \angle BAC = \angle BCA = \alpha $. Следовательно, $ \triangle ABC $ — равнобедренный, и $AB=BC$. Аналогично, в треугольнике $ADC$ по построению $ \angle DAC = \angle DCA = \alpha $. Следовательно, $ \triangle ADC $ — равнобедренный, и $AD=CD$. Так как $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $ построены на общем основании $AC$ с равными прилежащими углами, то они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AB=AD$ и $BC=CD$. Объединяя все равенства, получаем $AB=BC=CD=DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Построенный ромб $ABCD$ имеет диагональ $AC = d$ и угол при этой диагонали $ \angle BAC = \alpha $.

Ответ: Алгоритм построения и доказательство приведены выше.

2) Построение ромба по диагонали и высоте

Анализ. Пусть дана диагональ $d$ и высота $h$. Пусть $ABCD$ — искомый ромб, $AC=d$ — данная диагональ, $h$ — высота. Высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности. Центром вписанной окружности является точка пересечения диагоналей $O$. Следовательно, радиус вписанной окружности $r = h/2$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, $AC \perp BD$ и $AO = OC = d/2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (с прямым углом при $O$). Расстояние от центра $O$ до стороны $AB$ — это радиус вписанной окружности. То есть, высота $OK$, опущенная из вершины $O$ на гипотенузу $AB$, равна $r = h/2$. В прямоугольном треугольнике $AOK$ (с прямым углом при $K$) нам известны гипотенуза $AO=d/2$ и катет $OK=h/2$. Построение этого треугольника является ключом к решению задачи. Для существования решения необходимо, чтобы $AO \ge OK$, то есть $d/2 \ge h/2$, или $d \ge h$.

Построение:

1. Построить отрезки, равные $d/2$ и $h/2$.
2. Построить прямоугольный треугольник $AOK$ по гипотенузе $AO=d/2$ и катету $OK=h/2$. Для этого:
   1. Провести прямую и отложить на ней отрезок $OK = h/2$.
   2. В точке $K$ восстановить перпендикуляр к прямой $OK$.
   3. Из точки $O$ как из центра провести дугу окружности радиусом $d/2$. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет вершиной $A$.
3. Провести прямую через точки $A$ и $K$. Эта прямая будет содержать сторону $AB$ ромба.
4. Провести прямую через точки $A$ и $O$. На ее продолжении за точку $O$ отложить отрезок $OC = AO$. Так мы найдем вершину $C$.
5. Через точку $O$ провести прямую, перпендикулярную прямой $AC$. Эта прямая будет содержать диагональ $BD$.
6. Точка пересечения прямой, содержащей сторону $AB$ (проведенной в шаге 3), и прямой, содержащей диагональ $BD$ (проведенной в шаге 5), будет вершиной $B$.
7. На прямой, содержащей диагональ $BD$, отложить за точку $O$ отрезок $OD = OB$. Так мы найдем вершину $D$.
8. Соединить последовательно точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство. В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO=OC=d/2$ и $BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ является ромбом. Длина диагонали $AC$ по построению равна $d$. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, т.е. $2r$. Радиус $r$ вписанной окружности равен расстоянию от центра $O$ до стороны ромба, например, до $AB$. Это расстояние есть длина перпендикуляра $OK$ из $O$ на прямую $AB$. По построению $OK=h/2$. Значит, высота ромба равна $2 \cdot OK = 2 \cdot (h/2) = h$. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения и доказательство приведены выше.