Номер 1.91, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.91. Постройте параллелограмм:

1) по двум высотам и острому углу;

2) по двум диагоналям и высоте.

Анализ. Пусть искомый параллелограмм имеет стороны $a$ и $b$, острый угол между ними $\alpha$, и высоты $h_a$ и $h_b$, опущенные на эти стороны соответственно. Площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Также площадь равна $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
Из этих соотношений следует, что $h_a = b \cdot \sin(\alpha)$ и $h_b = a \cdot \sin(\alpha)$.
Отсюда можно выразить длины сторон параллелограмма: $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$ и $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$.
Таким образом, задача сводится к построению отрезков $a$ и $b$, а затем к построению параллелограмма по двум сторонам и углу между ними. Отрезок вида $\frac{h}{\sin(\alpha)}$ можно построить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетом $h$, противолежащим углу $\alpha$.

Построение:

1. Построение стороны $a$. Для этого построим прямоугольный треугольник с катетом $h_b$ и противолежащим ему углом $\alpha$.
   1. Проведем прямую $l$ и выберем на ней произвольную точку $M$. Восставим в точке $M$ перпендикуляр к прямой $l$.
   2. На перпендикуляре отложим отрезок $MN$, равный высоте $h_b$.
   3. Через точку $N$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $l$.
   4. На прямой $l$ выберем произвольную точку $A$ и построим в ней угол, равный данному острому углу $\alpha$, одна из сторон которого лежит на прямой $l$.
   5. Вторая сторона угла пересечет прямую $m$ в некоторой точке $D$. Длина отрезка $AD$ будет равна $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$.
2. Построение стороны $b$. Аналогично п.1, построим отрезок $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$, используя высоту $h_a$ и угол $\alpha$.
3. Построение параллелограмма $ABCD$.
   1. На произвольной прямой отложим отрезок $AD$, равный построенной стороне $a$.
   2. В точке $A$ построим угол, равный $\alpha$.
   3. На второй стороне угла отложим отрезок $AB$, равный построенной стороне $b$.
   4. Из точки $B$ проведем окружность радиусом $a$, а из точки $D$ — окружность радиусом $b$.
   5. Точка пересечения этих окружностей $C$ будет четвертой вершиной параллелограмма.
   6. Соединим вершины. Параллелограмм $ABCD$ — искомый.

Доказательство. По построению $ABCD$ — параллелограмм, так как его противоположные стороны равны ($AB=CD=b$, $AD=BC=a$). Угол $\angle DAB$ равен $\alpha$. Высота, опущенная из $B$ на $AD$, равна $AB \cdot \sin(\alpha) = b \cdot \sin(\alpha)$. Так как мы строили $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$, то высота равна $h_a$. Аналогично, высота, опущенная из $D$ на $AB$, равна $AD \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(\alpha)$. Так как $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$, то высота равна $h_b$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение выполняется в соответствии с приведенным выше алгоритмом.

Анализ. Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Пусть $h$ — одна из его высот, например, опущенная из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Обозначим основание высоты как $K$, тогда $CK = h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$. В нем гипотенуза $AC = d_1$, а катет $CK = h$. Этот треугольник можно построить. Построив его, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямую $AK$, на которой лежит сторона $AB$.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения $O$ делятся пополам. $O$ — середина $AC$. Вершина $B$ лежит на прямой $AK$ и удалена от точки $O$ на расстояние $BO = d_2/2$. Вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно точки $O$.

Построение:

1. Построение треугольника $AKC$.
   1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $K$.
   2. Восставим в точке $K$ перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $CK$, равный высоте $h$.
   3. Построим окружность с центром в $C$ и радиусом $d_1$.
   4. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$. (Если $h > d_1$, построение невозможно. Если $h \le d_1$, то существует одна или две точки пересечения, выбор любой из них приводит к построению одного из двух симметричных решений).
2. Нахождение центра параллелограмма $O$.
   1. Построим середину отрезка $AC$. Это и будет точка $O$.
3. Нахождение вершины $B$.
   1. Построим окружность с центром в $O$ и радиусом $d_2/2$.
   2. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ (на которой лежит точка $A$) будет вершиной $B$. (Для существования решения необходимо, чтобы расстояние от $O$ до прямой $l$ было не больше $d_2/2$. Это расстояние равно $h/2$, так что условие $h \le d_2$).
4. Нахождение вершины $D$.
   1. Проведем луч $BO$.
   2. На этом луче отложим отрезок $OD$, равный $BO$, так, чтобы $O$ лежала между $B$ и $D$.
5. Соединим последовательно вершины $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство. По построению диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC$, $BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Длина диагонали $AC$ равна $d_1$, длина диагонали $BD=BO+OD$ равна $d_2$. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$ (прямую $l$), по построению равна $CK=h$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение выполняется в соответствии с приведенным выше алгоритмом.