Номер 1.92, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.92. Постройте прямоугольник:

1) по двум смежным сторонам;

2) по стороне и диагонали;

3) по диагоналям и углу между ними.

1) по двум смежным сторонам

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$ - это длины смежных сторон искомого прямоугольника.

Анализ: Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Противоположные стороны прямоугольника равны. Если нам даны две смежные стороны, например $AB$ и $AD$, то они должны быть перпендикулярны. Вершина $C$ будет находиться на расстоянии $b$ от вершины $B$ и на расстоянии $a$ от вершины $D$.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный стороне $a$.
3. Из точки $A$ восставим перпендикуляр к прямой $AB$.
4. На этом перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $b$.
5. Теперь у нас есть три вершины прямоугольника: $A$, $B$, $D$. Чтобы найти четвертую вершину $C$, проведем две дуги:
- из точки $B$ проведем дугу окружности радиусом $b$ (равным длине $AD$);
- из точки $D$ проведем дугу окружности радиусом $a$ (равным длине $AB$).
6. Точка пересечения этих дуг будет четвертой вершиной $C$.
7. Соединим отрезками точки $B$ и $C$, а также $D$ и $C$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как по построению $AB \perp AD$, $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$.

Ответ: Прямоугольник построен.

2) по стороне и диагонали

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ (сторона) и $d$ (диагональ). Для существования прямоугольника должно выполняться условие $d > a$.

Анализ: Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Данная сторона и данная диагональ являются катетом и гипотенузой одного из таких треугольников. Угол между смежными сторонами прямоугольника равен $90^\circ$.

Построение:
1. Построим отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. В точке $B$ восставим перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Из точки $A$ (как из центра) проведем дугу окружности радиусом, равным диагонали $d$.
4. Эта дуга пересечет перпендикуляр в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$. Треугольник $ABC$ – прямоугольный, с катетом $AB=a$ и гипотенузой $AC=d$.
5. Теперь необходимо найти четвертую вершину $D$. Для этого:
- из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $BC$;
- из точки $C$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $AB$ (то есть $a$).
6. Точка пересечения этих дуг будет вершиной $D$.
7. Соединим отрезками точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.
Четырехугольник $ABCD$ – искомый прямоугольник. По построению, $\angle B = 90^\circ$, $AC=d$, $AB=a$, а также $AD=BC$ и $CD=AB$, что делает его параллелограммом с прямым углом, то есть прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник построен.

3) по диагоналям и углу между ними

Пусть дана длина диагонали $d$ и угол $\alpha$ между диагоналями.

Анализ: Диагонали прямоугольника равны, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что мы можем построить две равные диагонали, которые пересекаются в своих серединах под заданным углом. Концы этих диагоналей и будут вершинами искомого прямоугольника.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и на ней отложим отрезок $AC$, равный длине диагонали $d$.
2. Найдем середину отрезка $AC$. Обозначим ее точкой $O$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
3. Через точку $O$ проведем вторую прямую так, чтобы она образовывала с отрезком $AC$ угол $\alpha$. Для этого от луча $OA$ (или $OC$) отложим угол, равный данному углу $\alpha$.
4. На этой второй прямой от точки $O$ в обе стороны отложим отрезки $OB$ и $OD$, равные половине длины диагонали, то есть $d/2$.
5. Полученные точки $A$, $B$, $C$, $D$ являются вершинами искомого прямоугольника.
6. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$ отрезками.
Четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как его диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC=d$, $BD=BO+OD=d/2+d/2=d$) и точкой пересечения делятся пополам. Четырехугольник с такими свойствами диагоналей является прямоугольником. Угол между диагоналями по построению равен $\alpha$.

Ответ: Прямоугольник построен.