Номер 1.114, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.114. Каждая сторона треугольника ABC разделена на три равных между собой отрезка, точки деления соединены отрезками, параллельными сторонам треугольника. Периметр треугольника ABC равен $p$. Каков периметр заштрихованной фигуры? (Рис. 1.57.)

Рис. 1.57

Пусть стороны исходного треугольника $ABC$ равны $a, b$ и $c$. Его периметр, по условию, равен $p$. Таким образом, мы имеем равенство: $P_{ABC} = a + b + c = p$.

В условии сказано, что каждая сторона треугольника $ABC$ разделена на три равных отрезка. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эта конструкция разбивает большой треугольник $ABC$ на 9 маленьких треугольников, которые равны между собой.

Докажем, что все маленькие треугольники равны. Рассмотрим один из них, например, треугольник в вершине $B$. По построению, его стороны являются отрезками сторон $AB$ и $BC$ и отрезком, параллельным стороне $AC$. Длины его сторон, прилежащих к вершине $B$, равны $\frac{1}{3}c$ и $\frac{1}{3}a$. Угол между ними равен углу $B$ исходного треугольника. Следовательно, этот маленький треугольник подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$. Это справедливо для всех 9 маленьких треугольников. Так как они все подобны одному и тому же треугольнику с одним и тем же коэффициентом, они все равны (конгруэнтны) между собой.

Периметр $P_{small}$ одного такого маленького треугольника относится к периметру большого треугольника $P_{ABC}$ с тем же коэффициентом подобия $k$:

$P_{small} = k \cdot P_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot p$

Заштрихованная фигура, как видно из рисунка, состоит из трех таких одинаковых маленьких треугольников. Поскольку эти треугольники не имеют общих границ (не соприкасаются друг с другом), периметр всей заштрихованной фигуры $P_{shaded}$ равен сумме периметров трех составляющих ее треугольников.

$P_{shaded} = 3 \cdot P_{small}$

Подставляя выражение для $P_{small}$, получаем:

$P_{shaded} = 3 \cdot \left(\frac{p}{3}\right) = p$

Ответ: $p$