Номер 1.113, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.113. Разделите произвольный треугольник на две части так, чтобы из них можно было составить параллелограмм.

Для того чтобы разделить произвольный треугольник на две части, из которых можно составить параллелограмм, необходимо выполнить построение и доказать его правильность.

1. Пусть дан произвольный треугольник $ABC$.
2. Выберем любые две стороны треугольника, например, $AB$ и $BC$. Найдем их середины — точки $D$ и $E$ соответственно.
3. Проведем отрезок $DE$. Этот отрезок является средней линией треугольника $ABC$ и делит его на две части: треугольник $DBE$ и трапецию $ADEC$. Этот отрезок $DE$ и есть искомый разрез.
4. Для того чтобы составить параллелограмм, мысленно "отрежем" треугольник $DBE$ и повернем его на $180^\circ$ вокруг вершины $E$.
5. При таком повороте произойдут следующие преобразования:
   • Вершина $E$ как центр поворота останется на месте.
   • Поскольку $E$ — середина стороны $BC$, вершина $B$ перейдет в вершину $C$.
   • Вершина $D$ перейдет в некоторую новую точку в плоскости, назовем ее $D'$.
   Таким образом, треугольник $DBE$ отобразится на равный ему треугольник $CD'E$.
6. Приложим полученный треугольник $CD'E$ к трапеции $ADEC$ так, чтобы сторона $CE$ повернутого треугольника (которая до поворота была стороной $BE$) совпала со стороной $CE$ трапеции.

В результате этих действий образуется новая фигура — четырехугольник $ADD'C$.

Докажем, что полученная фигура $ADD'C$ является параллелограммом.

1. Рассмотрим сторону $DD'$ четырехугольника $ADD'C$. Она состоит из двух отрезков: $DE$ и $ED'$. В результате поворота треугольника $DBE$ вокруг точки $E$ на $180^\circ$, отрезок $DE$ переходит в отрезок $D'E$. Это означает, что точки $D$, $E$ и $D'$ лежат на одной прямой, а длина отрезка $ED'$ равна длине отрезка $DE$. Следовательно, длина стороны $DD'$ равна $DE + ED' = 2DE$.
2. Отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$ по построению. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине: $DE \parallel AC$ и $DE = \frac{1}{2} AC$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что длина стороны $DD'$ равна $2 \times (\frac{1}{2} AC) = AC$. Таким образом, противолежащие стороны $DD'$ и $AC$ четырехугольника $ADD'C$ равны.
4. Также из свойства средней линии известно, что $DE \parallel AC$. Поскольку точки $D$, $E$, $D'$ лежат на одной прямой, то и вся прямая $DD'$ параллельна прямой $AC$. Таким образом, сторона $DD'$ параллельна стороне $AC$.
5. Мы получили, что в четырехугольнике $ADD'C$ две противоположные стороны ($AC$ и $DD'$) равны и параллельны. По признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого есть пара равных и параллельных противоположных сторон, является параллелограммом.

Следовательно, фигура $ADD'C$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ:

Треугольник нужно разрезать по средней линии, соединяющей середины двух его сторон. В результате получится маленький треугольник и трапеция. Затем маленький треугольник следует повернуть на $180^\circ$ вокруг одной из его вершин, которая является серединой стороны исходного треугольника. Если приложить повернутый треугольник к трапеции по общей стороне, то получится параллелограмм.