Номер 1.118, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

... равных берегах реки?

1.118. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон. Докажите, что эти последние противоположные стороны параллельны.

Решение:

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$. По условию задачи, длина отрезка $MN$ равна полусумме длин двух других сторон $AD$ и $BC$: $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Нужно доказать, что $AD \parallel BC$.

Рассмотрим дополнительное построение. Соединим точку $A$ с точкой $C$, получив диагональ $AC$. Отметим на этой диагонали середину — точку $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $MK$ параллелен стороне $BC$ и равен ее половине: $MK \parallel BC$ и $MK = \frac{1}{2}BC$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, отрезок $KN$ параллелен стороне $AD$ и равен ее половине: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

3. Теперь рассмотрим три точки $M$, $K$ и $N$. Эти точки образуют треугольник $MKN$ (или лежат на одной прямой). Для сторон этого треугольника справедливо неравенство треугольника: $MN \le MK + KN$.

Подставим в это неравенство найденные значения для $MK$ и $KN$: $MN \le \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD$, что эквивалентно $MN \le \frac{AD + BC}{2}$.

Однако по условию задачи нам дано, что $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Это означает, что неравенство треугольника для точек $M$, $K$, $N$ обращается в равенство: $MN = MK + KN$. Равенство в неравенстве треугольника достигается только в том случае, когда точки лежат на одной прямой, причем точка $K$ лежит между точками $M$ и $N$.

Если точки $M$, $K$, $N$ лежат на одной прямой, то отрезки $MK$ и $KN$ также лежат на этой прямой (или на параллельных прямых, что в данном случае сводится к одной прямой, так как у них есть общая точка $K$). Мы знаем, что $MK \parallel BC$ и $KN \parallel AD$. Поскольку отрезки $MK$ и $KN$ лежат на одной прямой, они параллельны. Следовательно, прямые $BC$ и $AD$, которым они параллельны, также должны быть параллельны между собой. Таким образом, $AD \parallel BC$.

Ответ: Утверждение доказано.