Номер 1.123, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 1.88

1.123. Через данную внутри угла точку $A$ проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный между сторонами угла, делился в точке $A$ в отношении $2 : 1$.

Пусть дан угол с вершиной в точке O и сторонами, являющимися лучами, и точка A внутри этого угла. Требуется построить прямую, проходящую через точку A, которая пересекает стороны угла в точках B и C так, чтобы отрезок BC делился точкой A в отношении 2:1. Это означает, что может выполняться одно из двух условий: $BA : AC = 2:1$ или $AC : BA = 2:1$. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

В этом случае искомая прямая пересекает стороны угла в точках B и C таким образом, что отрезок от точки B до точки A в два раза длиннее отрезка от точки A до точки C.

Анализ и метод построения. Пусть стороны угла — это лучи $l_1$ и $l_2$. Пусть точка B лежит на $l_1$, а точка C — на $l_2$. Проведем через точку A прямую, параллельную стороне $l_1$. Пусть эта прямая пересечет сторону $l_2$ в точке D. Рассмотрим угол с вершиной O. Прямые OB (часть $l_1$) и DA параллельны по построению. Согласно обобщенной теореме Фалеса, параллельные прямые отсекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки. Для прямых OC ($l_2$) и BC это означает, что выполняется соотношение: $ \frac{CD}{DO} = \frac{CA}{AB} $ По условию этого случая, $BA : AC = 2:1$, что эквивалентно $CA/AB = 1/2$. Следовательно, $CD/DO = 1/2$, или $DO = 2 \cdot CD$. Геометрически это означает, что точка C является серединой отрезка OD.

Построение. 1. Через данную точку A проводим прямую, параллельную одной из сторон угла (назовем ее $l_1$). 2. Отмечаем точку D, в которой построенная прямая пересекает другую сторону угла ($l_2$). 3. С помощью циркуля и линейки находим середину C отрезка OD. 4. Проводим прямую через точки A и C. Эта прямая пересечет сторону $l_1$ в некоторой точке B. Прямая BC является искомой.

Доказательство. По построению, прямая AD параллельна стороне OB (лучу $l_1$). По теореме Фалеса для угла COB и секущих OC и BC, имеем $CA/AB = CD/DO$. Так как по построению точка C является серединой отрезка OD, то $CD = \frac{1}{2} DO$. Подставляя это в пропорцию, получаем $CA/AB = 1/2$, откуда $BA/AC = 2/1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить прямую, для которой отрезок от точки B на одной стороне угла до точки A вдвое длиннее отрезка от A до точки C на другой стороне, нужно провести через A прямую, параллельную стороне с точкой B, до пересечения с другой стороной в точке D, найти середину C отрезка OD и провести искомую прямую через точки A и C.

Этот случай симметричен предыдущему. Теперь искомая прямая пересекает стороны угла в точках B и C так, что отрезок от точки A до точки C в два раза длиннее отрезка от точки B до A.

Анализ и метод построения. Действуем аналогично, но теперь строим прямую через A, параллельную другой стороне угла, $l_2$. Пусть она пересечет сторону $l_1$ в точке E. По теореме Фалеса для угла BOC и секущих OB и CB: $ \frac{BE}{EO} = \frac{BA}{AC} $ По условию $AC:BA = 2:1$, то есть $BA/AC = 1/2$. Значит, $BE/EO = 1/2$, или $EO = 2 \cdot BE$. Это означает, что точка B должна быть серединой отрезка OE.

Построение. 1. Через данную точку A проводим прямую, параллельную стороне $l_2$. 2. Отмечаем точку E, в которой эта прямая пересекает сторону $l_1$. 3. Находим середину B отрезка OE. 4. Проводим прямую через точки A и B. Она пересечет сторону $l_2$ в некоторой точке C. Прямая BC является второй искомой прямой.

Доказательство. По построению, прямая AE параллельна стороне OC (лучу $l_2$). По теореме Фалеса для угла EOC и секущих OB и CB, имеем $BA/AC = BE/EO$. Так как по построению точка B является серединой отрезка OE, то $BE = \frac{1}{2} EO$. Подставляя это в пропорцию, получаем $BA/AC = 1/2$, откуда $AC/BA = 2/1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить прямую, для которой отрезок от точки A до точки C на одной стороне вдвое длиннее отрезка от точки B на другой стороне до A, нужно провести через A прямую, параллельную стороне с точкой C, до пересечения со стороной с точкой B в точке E, найти середину B отрезка OE и провести искомую прямую через точки A и B.