Вопросы, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой четырехугольник называется трапецией?

2. Что называется средней линией трапеции?

3. Сформулируйте свойство средней линии трапеции, докажите его.

4. Сколько тупых углов может быть в трапеции?

Работа с рисунком

Обратите внимание на рисунки 1.61 и 1.62. В чем отличие трапеций? Почему эти трапеции называют равнобокой и прямоугольной? Обоснуйте ответ.

B C

Равнобокая

трапеция

A D

Рис. 1.61

B C

Прямоуголь-

ная

трапеция

A D

Рис. 1.62

1. Какой четырехугольник называется трапецией?

Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие (непараллельные) стороны — боковыми сторонами.

Ответ: Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

2. Что называется средней линией трапеции?

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Ответ: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

3. Сформулируйте свойство средней линии трапеции, докажите его.

Свойство (теорема): Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Отрезок $MN$ — средняя линия трапеции. Необходимо доказать, что $MN \parallel AD$ (и $MN \parallel BC$), а также что $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Для доказательства проведем прямую через точки $B$ и $N$ до её пересечения с продолжением основания $AD$. Обозначим точку пересечения как $E$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.

1. $CN = ND$, так как $N$ — середина отрезка $CD$ по условию.
2. $\angle BNC = \angle END$, так как эти углы являются вертикальными.
3. $\angle BCN = \angle EDN$, так как эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AE$ (прямая $AD$) и секущей $CD$.

Таким образом, $\triangle BCN = \triangle EDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $BC = DE$ и $BN = NE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$.

1. Точка $M$ является серединой стороны $AB$ по условию.
2. Точка $N$ является серединой стороны $BE$, так как мы доказали, что $BN = NE$.

Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне ($AE$) и равна её половине.

Значит, $MN \parallel AE$. Поскольку $E$ лежит на прямой $AD$, то $MN \parallel AD$. Так как $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первая часть свойства доказана.

Также по свойству средней линии треугольника $MN = \frac{1}{2}AE$. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$. Мы ранее доказали, что $DE = BC$. Следовательно, $AE = AD + BC$.

Подставим это выражение в формулу для длины $MN$:

$MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{AD + BC}{2}$

Вторая часть свойства также доказана. Что и требовалось доказать.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

4. Сколько тупых углов может быть в трапеции?

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из свойства параллельных прямых (оснований трапеции) и секущей (боковой стороны). Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, а острым — меньше $90^\circ$.

Из этого свойства следует, что если один из углов при боковой стороне тупой, то другой обязательно должен быть острым. Например, если $\angle A > 90^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - \angle A < 90^\circ$. Два тупых угла при одной боковой стороне невозможны.

Поскольку у трапеции две боковые стороны, у нее может быть не более двух тупых углов — по одному у каждой из боковых сторон.

Рассмотрим возможные варианты:

• Два тупых угла. Такой случай возможен. Например, в равнобокой (не прямоугольной) трапеции углы при меньшем основании являются тупыми.
• Один тупой угол. Такой случай возможен. В прямоугольной трапеции (не прямоугольнике) два угла прямые ($90^\circ$), а из двух оставшихся один острый, а другой тупой.
• Ноль тупых углов. Такой случай возможен, если трапеция является прямоугольником, у которого все углы прямые.

Таким образом, в трапеции не может быть трех или четырех тупых углов.

Ответ: В трапеции может быть ноль, один или два тупых угла. Максимальное количество тупых углов равно двум.

Работа с рисунком. Обратите внимание на рисунки 1.61 и 1.62. В чем отличие трапеций? Почему эти трапеции называют равнобокой и прямоугольной? Обоснуйте ответ.

Отличие трапеций заключается в их геометрических свойствах, касающихся боковых сторон и углов.

• Трапеция на рисунке 1.61 является равнобокой. Ее ключевое свойство — равенство боковых сторон ($AB = CD$, что на рисунке отмечено одинаковыми штрихами). Это приводит к равенству углов при каждом из оснований: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.
• Трапеция на рисунке 1.62 является прямоугольной. Ее ключевое свойство — одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. На рисунке это показано квадратом у вершины $A$, что означает $\angle A = 90^\circ$. Поскольку основания $AD$ и $BC$ параллельны, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна $AD$, она также перпендикулярна и $BC$, следовательно, $\angle B = 90^\circ$. Таким образом, у этой трапеции есть два прямых угла.

Происхождение названий и обоснование:

Названия этих видов трапеций напрямую отражают их определяющие характеристики:

• Равнобокая (или равнобедренная) трапеция названа так потому, что ее «бока» (боковые стороны) равны. Это главное свойство, которое отличает ее от других трапеций и обуславливает ее симметричность.
• Прямоугольная трапеция получила свое название из-за наличия у нее прямых углов. Наличие хотя бы одного прямого угла у боковой стороны, примыкающей к основаниям, однозначно определяет этот тип трапеции.

Ответ: Отличие трапеций состоит в том, что у равнобокой равны боковые стороны и углы при основаниях, в то время как у прямоугольной одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, образуя два прямых угла. Названия «равнобокая» и «прямоугольная» указывают на эти ключевые свойства: равенство боковых сторон и наличие прямых углов соответственно.