Страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.132. Один угол равнобокой трапеции равен 60°, боковая сторона – 24 см, а сумма оснований – 44 см. Найдите длины оснований трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, где $a$ и $b$ — длины оснований ($a > b$), $c$ — длина боковой стороны. По условию задачи имеем:
Один из углов равен $60^{\circ}$. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, углы при большем основании равны $60^{\circ}$.
Длина боковой стороны $c = 24$ см.
Сумма оснований $a + b = 44$ см.

Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Эти высоты отсекут на большем основании два равных отрезка. Длину каждого такого отрезка можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и этим отрезком (катеты).

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна боковой стороне трапеции ($c = 24$ см), а один из острых углов равен углу при основании трапеции ($60^{\circ}$). Отрезок, отсекаемый на большем основании, является катетом, прилежащим к этому углу. Найдем его длину $x$:
$x = c \cdot \cos(60^{\circ})$
$x = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Большее основание $a$ равно сумме меньшего основания $b$ и двух таких отрезков $x$:
$a = b + 2x$
Отсюда разность оснований равна:
$a - b = 2x = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения длин оснований $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = 44 \\ a - b = 24 \end{cases}$

Сложим два уравнения:
$(a + b) + (a - b) = 44 + 24$
$2a = 68$
$a = \frac{68}{2} = 34$ см.

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$34 + b = 44$
$b = 44 - 34 = 10$ см.

Таким образом, длины оснований трапеции равны 10 см и 34 см.
Ответ: 10 см и 34 см.

1.133. Один угол прямоугольной трапеции равен $45^{\circ}$, а ее основания – 10 см и 15 см. Найдите меньшую боковую сторону трапеции (рис. 1.67).

Рис. 1.67

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Это означает, что $\angle A = 90°$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC || AD$), то сумма односторонних углов при секущей $AB$ равна $180°$, следовательно, $\angle B$ также равен $90°$. Боковыми сторонами трапеции являются $AB$ и $CD$.

Из условия задачи известно, что основания равны $BC = 10$ см и $AD = 15$ см. Также дан один из углов, равный $45°$. Так как углы $A$ и $B$ — прямые, этим углом может быть только $\angle D$ или $\angle C$. Судя по рисунку и тому, что трапеция не является прямоугольником, $\angle D = 45°$.

Для решения задачи проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на большее основание $AD$. Так как $AB$ и $CH$ обе перпендикулярны $AD$, они параллельны друг другу. Поскольку $BC$ по определению трапеции параллельна $AD$ (и, следовательно, $AH$), четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником.

Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны: $AB = CH$ $AH = BC = 10$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $HD$: $HD = AD - AH = 15 - 10 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90°$). Нам известен угол $\angle D = 45°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому мы можем найти третий угол: $\angle HCD = 180° - 90° - 45° = 45°$.

Так как два угла в треугольнике $CHD$ равны ($\angle HCD = \angle D = 45°$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике катеты равны: $CH = HD = 5$ см.

Мы ищем меньшую боковую сторону. Одна боковая сторона — это $AB$. Мы выяснили, что $AB = CH$, значит, $AB = 5$ см. Вторую боковую сторону, $CD$, можно найти по теореме Пифагора в треугольнике $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. $CD = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Сравним длины боковых сторон: $AB = 5$ см и $CD = 5\sqrt{2}$ см. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $5\sqrt{2} \approx 7.07$ см. Очевидно, что $5 < 5\sqrt{2}$. Следовательно, меньшая боковая сторона — это $AB$.

Ответ: 5 см.

1.134. Докажите, что в трапеции:

1) сумма боковых сторон больше разности оснований;

2) сумма диагоналей больше суммы оснований;

3) разность оснований больше разности боковых сторон.

1) сумма боковых сторон больше разности оснований
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем, не умаляя общности, будем считать, что $AD$ является большим основанием. Обозначим длины сторон: $AD = a$, $BC = b$, и боковых сторон $AB = c$, $CD = d$. Требуется доказать, что $c + d > a - b$.

Выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный боковой стороне $AB$, до его пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.
Так как в четырехугольнике $ABCE$ противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AE$ как части оснований трапеции, $AB \parallel CE$ по построению), то $ABCE$ — параллелограмм.
Из свойств параллелограмма следует, что $CE = AB = c$ и $AE = BC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $CED$. Длины его сторон равны: $CE = c$, $CD = d$ и $ED$. Длину стороны $ED$ можно выразить как разность длин основания $AD$ и отрезка $AE$: $ED = AD - AE = a - b$.
Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны. Применим это неравенство к треугольнику $CED$ для сторон $CE$, $CD$ и $ED$:
$CE + CD > ED$
Подставив в это неравенство выражения для длин сторон, получаем:
$c + d > a - b$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма боковых сторон трапеции больше разности ее оснований.

2) сумма диагоналей больше суммы оснований
Пусть дана та же трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$, $BC = b$ и диагоналями $AC = d_1$, $BD = d_2$. Требуется доказать, что $d_1 + d_2 > a + b$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В результате пересечения диагоналей образуется четыре треугольника. Рассмотрим два из них, сторонами которых являются основания трапеции.

Для треугольника $AOD$, образованного отрезками диагоналей $AO$, $OD$ и основанием $AD$, по неравенству треугольника справедливо:
$AO + OD > AD$

Для треугольника $BOC$, образованного отрезками диагоналей $BO$, $OC$ и основанием $BC$, по неравенству треугольника справедливо:
$BO + OC > BC$

Сложим левые и правые части этих двух неравенств:
$(AO + OD) + (BO + OC) > AD + BC$
Сгруппируем слагаемые в левой части так, чтобы получились целые диагонали:
$(AO + OC) + (BO + OD) > AD + BC$
Поскольку $AO + OC = AC = d_1$ и $BO + OD = BD = d_2$, а также $AD=a$ и $BC=b$, мы можем переписать неравенство в следующем виде:
$d_1 + d_2 > a + b$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма диагоналей трапеции больше суммы ее оснований.

3) разность оснований больше разности боковых сторон
В той же трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = a$, $BC = b$ ($a > b$) и боковыми сторонами $AB = c$, $CD = d$. Требуется доказать, что разность оснований больше модуля разности боковых сторон: $a - b > |c - d|$.

Воспользуемся дополнительным построением из первого пункта. Проведем из вершины $C$ отрезок $CE \parallel AB$ ($E$ лежит на $AD$). Мы получили треугольник $CED$ со сторонами $CE=c$, $CD=d$ и $ED = a-b$.

Из неравенства треугольника известно, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других его сторон. Применим это свойство к стороне $ED$ треугольника $CED$ и двум другим его сторонам $CE$ и $CD$:
$ED > |CE - CD|$
Подставим в неравенство длины сторон, выраженные через параметры трапеции:
$a - b > |c - d|$
Это неравенство также можно доказать, рассмотрев два случая из неравенства треугольника:
1. $ED + CD > CE \implies (a-b) + d > c \implies a-b > c-d$
2. $ED + CE > CD \implies (a-b) + c > d \implies a-b > d-c$
Объединяя эти два условия, мы и получаем $a - b > |c - d|$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что разность оснований трапеции больше разности (модуля разности) ее боковых сторон.

1.135. В равнобокой трапеции один из углов равен $60^\circ$, а основания – 15 см и 49 см. Найдите ее периметр (рис. 1.68).

Рис. 1.68

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию задачи, основания равны $AD = 49$ см и $BC = 15$ см. Угол при большем основании равен $60°$, то есть $\angle A = \angle D = 60°$. Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Для нахождения длины боковой стороны опустим из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Получится прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

Так как трапеция равнобокая, высоты BH и CK отсекают от большего основания равные отрезки: $AH = KD$. Четырёхугольник HBCK является прямоугольником (так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$), поэтому $HK = BC = 15$ см.

Сумма длин отрезков AH и KD равна разности длин оснований: $AH + KD = AD - HK = 49 - 15 = 34$ см. Поскольку отрезки равны, то $AH = \frac{34}{2} = 17$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нём известен катет $AH = 17$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60°$. Боковая сторона AB является гипотенузой. Связь между гипотенузой, прилежащим катетом и углом выражается через косинус: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим длину боковой стороны AB: $AB = \frac{AH}{\cos(60°)}$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, находим: $AB = \frac{17}{1/2} = 17 \cdot 2 = 34$ см.

Так как трапеция равнобокая, $CD = AB = 34$ см.

Периметр трапеции P — это сумма длин всех её сторон: $P = AB + BC + CD + AD = 34 + 15 + 34 + 49 = 132$ см.

Ответ: 132 см.

1.136. Докажите, что трапеция является равнобокой, если ее диагонали равны.

1.136. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По условию, ее диагонали равны: $AC = BD$. Необходимо доказать, что трапеция является равнобокой, то есть ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Для доказательства используем метод дополнительного построения. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем:
1. $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AD$, а точка $E$ лежит на прямой $AD$).
2. $CE \parallel BD$ (по построению).
Следовательно, четырехугольник $BCED$ является параллелограммом по определению. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны: $CE = BD$.

По условию задачи дано, что $AC = BD$. Так как мы доказали, что $CE = BD$, то получаем, что $AC = CE$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. Поскольку две его стороны равны ($AC = CE$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle CAE = \angle CEA$.

Так как $CE \parallel BD$, а $AE$ является секущей, то соответственные углы при этих параллельных прямых равны: $\angle CEA = \angle BDA$.
Из равенств $\angle CAE = \angle CEA$ и $\angle CEA = \angle BDA$ следует, что $\angle CAE = \angle BDA$. Угол $\angle CAE$ совпадает с углом $\angle CAD$. Таким образом, мы доказали, что $\angle CAD = \angle BDA$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
1. $AD$ — общая сторона.
2. $BD = AC$ — по условию.
3. $\angle BDA = \angle CAD$ — как доказано выше.
Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ соответствует стороне $DC$ треугольника $\triangle DCA$. Значит, $AB = DC$.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобокой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1.137. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины $a$ и $b$ $(a > b)$. Найдите среднюю линию трапеции. Решите задачу при $a = 30$ см, $b = 6$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее. Проведем высоту BH из вершины тупого угла B на основание AD. Она делит основание AD на отрезки AH и HD.

Для определения соотношения длин этих отрезков, проведем также высоту CK из вершины C на то же основание AD. Поскольку трапеция является равнобокой, то боковые стороны равны ($AB = CD$), как и углы при основаниях. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету ($BH = CK$ как высоты трапеции). Следовательно, их вторые катеты также равны: $AH = DK$.

Фигура HBCK, ограниченная основаниями и высотами, является прямоугольником, так как $BC \parallel HK$ и $BH \perp AD, CK \perp AD$. Отсюда следует, что длина меньшего основания равна длине отрезка HK: $BC = HK$.

Рассмотрим отрезок HD, который является одной из частей большего основания. Его длина равна сумме длин отрезков HK и KD: $HD = HK + KD$. Заменяя $HK$ на $BC$ и $KD$ на $AH$ на основе предыдущих выводов, получаем $HD = BC + AH$. Так как длина основания $BC$ является положительной величиной, то очевидно, что $HD > AH$.

По условию задачи, высота делит большее основание на отрезки длиной $a$ и $b$, где $a > b$. Сопоставив это с нашим выводом, заключаем, что длина большего отрезка $HD = a$, а длина меньшего отрезка $AH = b$.

Теперь мы можем выразить длины оснований трапеции через $a$ и $b$:
Длина большего основания: $AD = AH + HD = b + a$.
Длину меньшего основания найдем из равенства $HD = BC + AH$. Подставив известные значения, получим $a = BC + b$, что означает $BC = a - b$.

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований:
$m = \frac{AD + BC}{2}$
Подставим в эту формулу найденные выражения для AD и BC:
$m = \frac{(a+b) + (a-b)}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции в данном случае равна длине большего из отрезков, на которые высота, опущенная из тупого угла, делит ее большее основание.

Теперь решим задачу для конкретных значений: $a = 30$ см и $b = 6$ см.
Используя выведенную формулу $m=a$, находим среднюю линию:
$m = 30$ см.

Ответ: 30 см.

1.138. Два села $A$ и $B$ расположены по одну сторону прямолинейной железной дороги на расстоянии соответственно 10 км и 20 км. Чему равно расстояние от железной дороги до села $C$, расположенного посередине прямой дороги, соединяющей села $A$ и $B$?

Для решения этой задачи рассмотрим геометрическую конфигурацию. Прямолинейную железную дорогу можно представить как прямую линию в плоскости. Села A и B являются точками, расположенными по одну сторону от этой прямой. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Пусть $h_A$ — расстояние от села А до железной дороги, а $h_B$ — расстояние от села В до железной дороги. По условию задачи:
$h_A = 10$ км
$h_B = 20$ км

Опустим из точек А и В перпендикуляры на прямую железной дороги. Обозначим их основания как А' и В'. Тогда $AA' = h_A = 10$ км и $BB' = h_B = 20$ км. Фигура AA'B'B является трапецией, у которой основания AA' и BB' параллельны, так как они оба перпендикулярны одной и той же прямой A'B'.

Село C расположено посередине прямой дороги, соединяющей села А и В. Это означает, что точка C является серединой отрезка AB. Расстояние от села С до железной дороги — это длина перпендикуляра CC', опущенного из точки C на прямую A'B'. Отрезок CC' является средней линией трапеции AA'B'B.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Применим эту формулу для нахождения расстояния CC':

$CC' = \frac{AA' + BB'}{2}$

Подставим известные значения длин оснований:

$CC' = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15$ км.

Таким образом, расстояние от железной дороги до села С составляет 15 км.

Ответ: 15 км.

1.139. Основания трапеции относятся как $2:3$, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания трапеции.

Пусть меньшее основание трапеции равно a, а большее — b.Согласно условию задачи, основания относятся как 2 к 3. Это можно записать с помощью общего коэффициента пропорциональности x:
меньшее основание $a = 2x$,
большее основание $b = 3x$.

Средняя линия трапеции (обозначим ее m) равна полусумме ее оснований. Формула для вычисления средней линии:
$m = \frac{a + b}{2}$

По условию, средняя линия равна 5 м. Подставим известные значения и выражения для оснований в формулу:
$5 = \frac{2x + 3x}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно x:
$5 = \frac{5x}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$10 = 5x$
Найдем x, разделив обе части на 5:
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$

Зная коэффициент пропорциональности, мы можем найти длины оснований трапеции:
Меньшее основание: $a = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ м.
Большее основание: $b = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ м.

Ответ: основания трапеции равны 4 м и 6 м.

1.140. Средняя линия трапеции равна 7 см, а разность оснований – 4 см. Найдите основания трапеции.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $m$ — длина ее средней линии. Примем, что $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее.

Из условия задачи нам известны два факта:

1. Средняя линия трапеции равна 7 см. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Это можно записать в виде формулы:
$m = \frac{a+b}{2}$
Подставим известное значение $m=7$:
$7 = \frac{a+b}{2}$
Отсюда следует, что сумма оснований равна:
$a+b = 7 \cdot 2 = 14$ (см).

2. Разность оснований равна 4 см. Это можно записать так:
$a - b = 4$ (см).

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a + b = 14 \\ a - b = 4 \end{cases} $
Для решения этой системы можно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(a+b) + (a-b) = 14 + 4$
$2a = 18$
$a = \frac{18}{2} = 9$ (см).

Мы нашли длину большего основания. Теперь найдем длину меньшего основания, подставив значение $a$ в любое из уравнений системы. Например, в первое:
$9 + b = 14$
$b = 14 - 9 = 5$ (см).

Итак, основания трапеции равны 9 см и 5 см.

Ответ: 5 см и 9 см.

1.141. Средняя линия трапеции равна 10 см. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2 см. Найдите основания трапеции (рис. 1.69).

Рис. 1.69

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а EF — её средняя линия. Диагональ AC пересекает среднюю линию EF в точке K.

По определению, средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон (E — середина AB, F — середина CD) и параллельна основаниям. Длина средней линии равна полусумме оснований:
$EF = \frac{AD + BC}{2}$

По условию задачи, длина средней линии EF равна 10 см.
$\frac{AD + BC}{2} = 10$, отсюда получаем, что сумма оснований $AD + BC = 20$ см.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как E — середина AB и EK параллельна BC (поскольку вся средняя линия EF параллельна основаниям), то EK является средней линией треугольника ABC. Следовательно, её длина равна половине длины основания BC:
$EK = \frac{1}{2} BC$

Аналогично, рассмотрим треугольник ADC. Так как F — середина CD и KF параллельна AD, то KF является средней линией треугольника ADC. Следовательно, её длина равна половине длины основания AD:
$KF = \frac{1}{2} AD$

Диагональ делит среднюю линию на два отрезка EK и KF. Длина всей средней линии равна сумме длин этих отрезков: $EF = EK + KF = 10$ см.

По условию, разность длин этих отрезков равна 2 см. Предположим, что основание AD больше основания BC, тогда и отрезок KF будет больше отрезка EK. Таким образом, $KF - EK = 2$ см.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными EK и KF:
1) $KF + EK = 10$
2) $KF - EK = 2$

Чтобы решить эту систему, сложим оба уравнения:
$(KF + EK) + (KF - EK) = 10 + 2$
$2KF = 12$
$KF = 6$ см.

Теперь подставим найденное значение KF в первое уравнение, чтобы найти EK:
$6 + EK = 10$
$EK = 10 - 6$
$EK = 4$ см.

Зная длины отрезков EK и KF, мы можем вычислить длины оснований трапеции:
$BC = 2 \cdot EK = 2 \cdot 4 = 8$ см.
$AD = 2 \cdot KF = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: основания трапеции равны 8 см и 12 см.

1.142. Основания трапеции равны 4 см и 10 см.

Найдите длины отрезков, на которые одна из диагоналей трапеции делит ее среднюю линию.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, где $a = 4$ см и $b = 10$ см. Пусть эта трапеция называется $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, $BC = 4$ см, $AD = 10$ см.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Обозначим среднюю линию как $MN$, где $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. По свойству средней линии, она параллельна основаниям трапеции ($MN \parallel BC$ и $MN \parallel AD$) и ее длина равна их полусумме: $MN = \frac{a+b}{2} = \frac{4+10}{2} = 7$ см.

Рассмотрим диагональ $AC$. Она пересекает среднюю линию $MN$ в некоторой точке, назовем ее $K$. Эта точка делит среднюю линию $MN$ на два отрезка: $MK$ и $KN$. Нам нужно найти их длины.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ является его частью. Точка $M$ — середина стороны $AB$ (по определению средней линии трапеции). Так как $MN \parallel BC$, то и $MK \parallel BC$. По свойству средней линии треугольника, если отрезок соединяет середину одной стороны треугольника и параллелен второй стороне, то он является средней линией. Следовательно, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Ее длина равна половине основания $BC$.

$MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $KN$ является его частью. Точка $N$ — середина стороны $CD$. Так как $MN \parallel AD$, то и $KN \parallel AD$. Точка $K$ является точкой пересечения диагонали $AC$ и отрезка $MN$. Поскольку $MK$ - средняя линия в треугольнике $ABC$, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, в треугольнике $ADC$ отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD$, а значит, является средней линией треугольника $ADC$. Его длина равна половине основания $AD$.

$KN = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 2 см и 5 см. Заметим, что сумма их длин равна длине всей средней линии: $2 + 5 = 7$ см, что соответствует ранее вычисленному значению.

Ответ: 2 см и 5 см.

1.143. Основания трапеции равны 8,2 см и 14,2 см. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей.

Для решения задачи воспользуемся свойством трапеции, которое гласит, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям, а его длина равна полуразности длин оснований.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$. Согласно условию задачи:
Большее основание $a = 14,2$ см.
Меньшее основание $b = 8,2$ см.

Формула для нахождения расстояния $L$ между серединами диагоналей:
$L = \frac{a - b}{2}$

Доказательство формулы:
Рассмотрим трапецию ABCD, где AD и BC — основания ($AD = a$, $BC = b$). Пусть M — середина диагонали AC, а N — середина диагонали BD. Возьмём точку K — середину боковой стороны AB.
1. В треугольнике ABD отрезок KN соединяет середины сторон AB и BD. Следовательно, KN является средней линией треугольника ABD. По свойству средней линии, отрезок KN параллелен основанию AD и его длина равна половине длины этого основания: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.
2. В треугольнике ABC отрезок KM соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, KM является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$.
3. Так как основания трапеции параллельны друг другу ($AD \parallel BC$), а отрезки KN и KM параллельны основаниям, то точки K, M и N лежат на одной прямой (эта прямая является средней линией трапеции).
4. Искомое расстояние MN можно найти как разность длин отрезков KN и KM (поскольку $a > b$, то и $KN > KM$):
$L = MN = KN - KM = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$.

Теперь подставим данные значения в формулу для вычисления расстояния:
$L = \frac{14,2 - 8,2}{2}$
$L = \frac{6}{2}$
$L = 3$ см.

Ответ: 3 см.