Номер 1.142, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.142. Основания трапеции равны 4 см и 10 см.

Найдите длины отрезков, на которые одна из диагоналей трапеции делит ее среднюю линию.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, где $a = 4$ см и $b = 10$ см. Пусть эта трапеция называется $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, $BC = 4$ см, $AD = 10$ см.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Обозначим среднюю линию как $MN$, где $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. По свойству средней линии, она параллельна основаниям трапеции ($MN \parallel BC$ и $MN \parallel AD$) и ее длина равна их полусумме: $MN = \frac{a+b}{2} = \frac{4+10}{2} = 7$ см.

Рассмотрим диагональ $AC$. Она пересекает среднюю линию $MN$ в некоторой точке, назовем ее $K$. Эта точка делит среднюю линию $MN$ на два отрезка: $MK$ и $KN$. Нам нужно найти их длины.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ является его частью. Точка $M$ — середина стороны $AB$ (по определению средней линии трапеции). Так как $MN \parallel BC$, то и $MK \parallel BC$. По свойству средней линии треугольника, если отрезок соединяет середину одной стороны треугольника и параллелен второй стороне, то он является средней линией. Следовательно, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Ее длина равна половине основания $BC$.

$MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $KN$ является его частью. Точка $N$ — середина стороны $CD$. Так как $MN \parallel AD$, то и $KN \parallel AD$. Точка $K$ является точкой пересечения диагонали $AC$ и отрезка $MN$. Поскольку $MK$ - средняя линия в треугольнике $ABC$, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, в треугольнике $ADC$ отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD$, а значит, является средней линией треугольника $ADC$. Его длина равна половине основания $AD$.

$KN = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 2 см и 5 см. Заметим, что сумма их длин равна длине всей средней линии: $2 + 5 = 7$ см, что соответствует ранее вычисленному значению.

Ответ: 2 см и 5 см.