Номер 1.141, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.141. Средняя линия трапеции равна 10 см. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2 см. Найдите основания трапеции (рис. 1.69).

Рис. 1.69

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а EF — её средняя линия. Диагональ AC пересекает среднюю линию EF в точке K.

По определению, средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон (E — середина AB, F — середина CD) и параллельна основаниям. Длина средней линии равна полусумме оснований:
$EF = \frac{AD + BC}{2}$

По условию задачи, длина средней линии EF равна 10 см.
$\frac{AD + BC}{2} = 10$, отсюда получаем, что сумма оснований $AD + BC = 20$ см.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как E — середина AB и EK параллельна BC (поскольку вся средняя линия EF параллельна основаниям), то EK является средней линией треугольника ABC. Следовательно, её длина равна половине длины основания BC:
$EK = \frac{1}{2} BC$

Аналогично, рассмотрим треугольник ADC. Так как F — середина CD и KF параллельна AD, то KF является средней линией треугольника ADC. Следовательно, её длина равна половине длины основания AD:
$KF = \frac{1}{2} AD$

Диагональ делит среднюю линию на два отрезка EK и KF. Длина всей средней линии равна сумме длин этих отрезков: $EF = EK + KF = 10$ см.

По условию, разность длин этих отрезков равна 2 см. Предположим, что основание AD больше основания BC, тогда и отрезок KF будет больше отрезка EK. Таким образом, $KF - EK = 2$ см.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными EK и KF:
1) $KF + EK = 10$
2) $KF - EK = 2$

Чтобы решить эту систему, сложим оба уравнения:
$(KF + EK) + (KF - EK) = 10 + 2$
$2KF = 12$
$KF = 6$ см.

Теперь подставим найденное значение KF в первое уравнение, чтобы найти EK:
$6 + EK = 10$
$EK = 10 - 6$
$EK = 4$ см.

Зная длины отрезков EK и KF, мы можем вычислить длины оснований трапеции:
$BC = 2 \cdot EK = 2 \cdot 4 = 8$ см.
$AD = 2 \cdot KF = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: основания трапеции равны 8 см и 12 см.